Решите подробно, пожалуйста!: Какое наименьшее значение функции y=11tgx–11x+16 можно найти на отрезке [0; π/4]?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций алгебра наименьшее значение функции решение уравнения tgx отрезок [0; π/4] функция y=11tgx–11x+16 математический анализ график функции оптимизация функции Новый

Для нахождения наименьшего значения функции y = 11tgx - 11x + 16 на отрезке [0; π/4] необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определение области определения функции:

   Функция tgx определена для всех x, кроме тех, где cosx = 0. В пределах отрезка [0; π/4] функция tgx определена, так как cosx не равен нулю в этой области.

2. Нахождение производной функции:

   Для нахождения экстремумов функции найдем ее производную:

   y' = 11 * (sec^2 x) - 11.

   Здесь sec^2 x – это производная функции tgx.

3. Поиск критических точек:

   Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

   11 * (sec^2 x) - 11 = 0.

   Отсюда следует, что:

   sec^2 x = 1.

   Так как sec^2 x = 1, то cos^2 x = 1, что возможно только при x = 0.

4. Проверка значений функции:

   Теперь нам необходимо вычислить значения функции на концах отрезка и в найденной критической точке:

   • y(0) = 11 * tg(0) - 11 * 0 + 16 = 0 + 0 + 16 = 16.
   • y(π/4) = 11 * tg(π/4) - 11 * (π/4) + 16 = 11 * 1 - 11 * (π/4) + 16 = 11 - (11π/4) + 16 = 27 - (11π/4).
   • y(0) = 16.
5. Сравнение значений:

   Теперь сравним найденные значения:

   • y(0) = 16.
   • y(π/4) = 27 - (11π/4).

   Приблизительно, подставляя значение π ≈ 3.14, получаем:

   y(π/4) ≈ 27 - (11 * 3.14 / 4) ≈ 27 - 8.675 = 18.325.

Сравнив значения y(0) и y(π/4), видим, что:

• y(0) = 16
• y(π/4) ≈ 18.325

Заключение:

Наименьшее значение функции y = 11tgx - 11x + 16 на отрезке [0; π/4] равно 16 и достигается в точке x = 0.