Решите тригонометрическое уравнение: tg^3x + tg^2x - 3tgx = 3

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения алгебра тригонометрическое уравнение решение уравнения tg^3x tg^2x tgx математические задачи алгебраические уравнения Новый

Для решения тригонометрического уравнения tg^3x + tg^2x - 3tgx = 3, начнем с введения обозначения. Пусть:

t = tgx

Тогда уравнение можно переписать в следующем виде:

t^3 + t^2 - 3t - 3 = 0

Теперь мы имеем кубическое уравнение. Для его решения будем искать корни. Начнем с нахождения целых корней с помощью теоремы о делителях свободного члена:

• Свободный член: -3
• Делители: ±1, ±3

Теперь подставим возможные значения t:

1. t = 1: 1^3 + 1^2 - 3*1 - 3 = 1 + 1 - 3 - 3 = -4 (не корень)
2. t = -1: (-1)^3 + (-1)^2 - 3*(-1) - 3 = -1 + 1 + 3 - 3 = 0 (корень)
3. t = 3: 3^3 + 3^2 - 3*3 - 3 = 27 + 9 - 9 - 3 = 24 (не корень)
4. t = -3: (-3)^3 + (-3)^2 - 3*(-3) - 3 = -27 + 9 + 9 - 3 = -12 (не корень)

Мы нашли один корень: t = -1. Теперь мы можем разложить кубическое уравнение на множители, используя найденный корень:

(t + 1)(t^2 + at + b) = 0

Чтобы найти a и b, используем деление многочлена:

Делим t^3 + t^2 - 3t - 3 на (t + 1):

Результат деления: t^2 + 0t - 3

Таким образом, уравнение можно записать как:

(t + 1)(t^2 - 3) = 0

Теперь решим каждое из уравнений:

1. t + 1 = 0 ⇒ t = -1
2. t^2 - 3 = 0 ⇒ t^2 = 3 ⇒ t = ±√3

Теперь вернемся к нашему первоначальному обозначению:

tgx = -1, tgx = √3, tgx = -√3

Решим каждое из уравнений по отдельности:

• tgx = -1: x = 3π/4 + kπ, где k ∈ Z
• tgx = √3: x = π/3 + kπ, где k ∈ Z
• tgx = -√3: x = 2π/3 + kπ, где k ∈ Z

Таким образом, общее решение уравнения:

x = 3π/4 + kπ, x = π/3 + kπ, x = 2π/3 + kπ, где k ∈ Z.