Решите тригонометрическое уравнение: tg^3x + tg^2x - 3tgx = 3

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение тригонометрического уравнения алгебра tg^3x tg^2x tgx математические уравнения Тригонометрия алгебраические уравнения Новый

Решим тригонометрическое уравнение: tg^3x + tg^2x - 3tgx = 3.

Для удобства введем замену: пусть t = tgx. Тогда уравнение можно переписать в следующем виде:

t^3 + t^2 - 3t - 3 = 0

Теперь мы имеем кубическое уравнение. Чтобы его решить, можно попробовать найти корни методом подбора. Проверим некоторые значения:

• t = 1: 1^3 + 1^2 - 3*1 - 3 = 1 + 1 - 3 - 3 = -4 (не корень)
• t = 2: 2^3 + 2^2 - 3*2 - 3 = 8 + 4 - 6 - 3 = 3 (не корень)
• t = -1: (-1)^3 + (-1)^2 - 3*(-1) - 3 = -1 + 1 + 3 - 3 = 0 (корень)

Мы нашли, что t = -1 является корнем уравнения. Теперь можем использовать деление многочленов, чтобы разложить кубическое уравнение на множители. Разделим t^3 + t^2 - 3t - 3 на (t + 1):

При делении мы получим:

t^3 + t^2 - 3t - 3 = (t + 1)(t^2 - 3)

Теперь у нас есть произведение двух множителей. Установим каждый из них равным нулю:

1. t + 1 = 0 → t = -1
2. t^2 - 3 = 0 → t^2 = 3 → t = ±√3

Теперь вернемся к нашей замене. Мы имеем:

• tgx = -1
• tgx = √3
• tgx = -√3

Решим каждое из этих уравнений:

1. tgx = -1:

tgx = -1, значит x = -π/4 + kπ, где k - любое целое число.

2. tgx = √3:

tgx = √3, значит x = π/3 + kπ, где k - любое целое число.

3. tgx = -√3:

tgx = -√3, значит x = -π/3 + kπ, где k - любое целое число.

Таким образом, общее решение уравнения tg^3x + tg^2x - 3tgx = 3 будет:

• x = -π/4 + kπ, k ∈ Z
• x = π/3 + kπ, k ∈ Z
• x = -π/3 + kπ, k ∈ Z

Это и есть все решения данного тригонометрического уравнения.