Решите уравнение 1 + sin^2(x) + cos(x) = 0

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения алгебра уравнение решение синус косинус Тригонометрия математические задачи математика функции графики Новый

Чтобы решить уравнение 1 + sin²(x) + cos(x) = 0, начнем с того, что мы можем выразить sin²(x) через cos²(x) с помощью тригонометрической идентичности:

sin²(x) + cos²(x) = 1

Таким образом, мы можем записать sin²(x) как 1 - cos²(x). Подставим это в уравнение:

1 + (1 - cos²(x)) + cos(x) = 0

Теперь упростим уравнение:

• 1 + 1 - cos²(x) + cos(x) = 0
• 2 - cos²(x) + cos(x) = 0

Теперь переместим все члены в одну сторону:

cos²(x) - cos(x) - 2 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно cos(x). Обозначим y = cos(x). Тогда уравнение принимает вид:

y² - y - 2 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac = (-1)² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9

Теперь найдем корни уравнения:

• y₁ = (1 + √D) / 2 = (1 + 3) / 2 = 2
• y₂ = (1 - √D) / 2 = (1 - 3) / 2 = -1

Теперь вернемся к cos(x):

• Первый корень: cos(x) = 2 - это значение не подходит, так как косинус не может быть больше 1.
• Второй корень: cos(x) = -1

Теперь найдем значение x, для которого cos(x) = -1. Это происходит в точке:

• x = π + 2kπ, где k - любое целое число.

Таким образом, общее решение уравнения 1 + sin²(x) + cos(x) = 0 будет:

x = π + 2kπ, k ∈ Z