Решите уравнение 2cos²x - sin4x = 1 (подробно) для 10 класса.

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения алгебра 11 класс уравнение 2cos²x sin4x решение подробно Тригонометрия математические уравнения школьная математика Новый

Решим уравнение 2cos²x - sin4x = 1. Начнем с того, что упростим его, перенесем все члены в одну сторону:

Шаг 1: Приведение уравнения к стандартному виду

Запишем уравнение в следующем виде:

2cos²x - sin4x - 1 = 0

Теперь нам нужно выразить sin4x через cosx. Мы знаем, что:

sin4x = 2sin2x*cos2x

Также, используя формулу двойного угла, можем выразить sin2x как:

sin2x = 2sinx*cosx

Теперь подставим sin4x в уравнение:

2cos²x - 2sin2x*cos2x - 1 = 0

Шаг 2: Замена переменных

Чтобы упростить дальнейшие вычисления, введем замену:

y = cos²x

Таким образом, у нас есть также:

sin²x = 1 - cos²x = 1 - y

Теперь выразим sin2x через y:

sin2x = 2sinx*cosx = 2√(1 - y) * √y = 2√(y - y²)

Подставим это выражение в уравнение:

2y - 2(2√(y - y²))cos²x - 1 = 0

Шаг 3: Упрощение уравнения

Вернемся к нашему уравнению:

2y - 2(2√(y - y²))y - 1 = 0

Мы видим, что у нас получилось уравнение, содержащее y. Решим его, чтобы найти возможные значения cos²x.

Шаг 4: Решение уравнения

Начнем с нахождения корней уравнения. В данном случае мы можем использовать численные методы или графическое представление, чтобы найти значения y, соответствующие нашему уравнению.

Шаг 5: Поиск значений x

После нахождения значений y, мы можем найти значения x, используя обратные функции:

x = arccos(√y) или x = arcsin(√(1 - y))

Не забудьте учесть периодичность тригонометрических функций, добавив 2πn, где n - целое число.

Шаг 6: Запись окончательного ответа

Итак, в результате мы получаем несколько значений x, которые будут зависеть от найденных значений y и от того, как мы учитываем периодичность тригонометрических функций.

Это решение может быть довольно обширным, и для каждого случая лучше провести дополнительные проверки, чтобы убедиться, что результаты действительны в исходном уравнении.