Для решения уравнения 3 sin^2(x) - 4 sin(x) cos(x) + 5 cos^2(x) = 2 начнем с преобразования его в более удобный вид.

Во-первых, заметим, что выражение sin^2(x) и cos^2(x) можно выразить через cos^2(x), используя основное тригонометрическое тождество:

• sin^2(x) = 1 - cos^2(x)

Подставим это в уравнение:

3(1 - cos^2(x)) - 4sin(x)cos(x) + 5cos^2(x) = 2

Раскроем скобки:

3 - 3cos^2(x) - 4sin(x)cos(x) + 5cos^2(x) = 2

Теперь объединим подобные члены:

(5cos^2(x) - 3cos^2(x)) - 4sin(x)cos(x) + 3 = 2

Это упростится до:

2cos^2(x) - 4sin(x)cos(x) + 3 = 2

Теперь перенесем 2 на левую сторону:

2cos^2(x) - 4sin(x)cos(x) + 1 = 0

Это квадратное уравнение по переменной cos(x). Однако, чтобы решить его, мы можем использовать замены. Заменим sin(x) через cos(x):

• sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x))

Теперь подставим это значение в уравнение:

2cos^2(x) - 4(sqrt(1 - cos^2(x)))cos(x) + 1 = 0

Это уравнение становится более сложным, поэтому давайте вернемся к исходному уравнению и попробуем решить его другим способом, используя тригонометрические функции.

Мы можем также использовать формулу для произведения синуса и косинуса:

• -4sin(x)cos(x) = -2sin(2x)

Тогда уравнение преобразуется в:

3sin^2(x) - 2sin(2x) + 5cos^2(x) = 2

Используя cos^2(x) = 1 - sin^2(x), мы можем выразить уравнение только через sin(x):

3sin^2(x) - 2sin(2x) + 5(1 - sin^2(x)) = 2

Теперь упростим это уравнение:

3sin^2(x) - 2sin(2x) + 5 - 5sin^2(x) = 2

Это упрощается до:

-2sin^2(x) - 2sin(2x) + 3 = 0

Далее, мы можем решить это уравнение, подбирая значения для sin(x) и cos(x) в интервале от -1 до 1, или использовать численные методы для нахождения корней. В данном случае, можно использовать графический метод или численный расчет для нахождения значений x, при которых данное уравнение выполняется.

Таким образом, уравнение 3 sin^2(x) - 4 sin(x) cos(x) + 5 cos^2(x) = 2 можно решить через преобразование и подстановку, что позволяет свести его к более простым формам. В результате, окончательные значения x можно найти с помощью численных методов или графического анализа.