Похожие вопросы
2025-08-31 15:09:34
Для решения уравнения 4 sin^4(2x) + 3 cos(4x) - 1 = 0 начнем с преобразования и упрощения выражений.
1. Обратим внимание на функцию cos(4x). Мы можем выразить ее через sin(2x):
- Используем формулу: cos(4x) = 1 - 2sin^2(2x).
2. Подставим это выражение в уравнение:
4 sin^4(2x) + 3(1 - 2sin^2(2x)) - 1 = 03. Раскроем скобки и упростим уравнение:
- 4 sin^4(2x) + 3 - 6 sin^2(2x) - 1 = 0
- 4 sin^4(2x) - 6 sin^2(2x) + 2 = 0
4. Обозначим y = sin^2(2x). Тогда уравнение примет вид:
4y^2 - 6y + 2 = 05. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
- Дискриминант D = (-6)^2 - 4 * 4 * 2 = 36 - 32 = 4.
6. Найдем корни уравнения:
- y1 = (6 + sqrt(4)) / (2 * 4) = (6 + 2) / 8 = 1.
- y2 = (6 - sqrt(4)) / (2 * 4) = (6 - 2) / 8 = 0.5.
7. Теперь вернемся к переменной sin^2(2x):
- sin^2(2x) = 1 → 2x = π/2 + kπ, где k - целое число.
- sin^2(2x) = 0.5 → 2x = π/4 + kπ или 2x = 3π/4 + kπ, где k - целое число.
8. Теперь найдем x:
- Для первого случая: 2x = π/2 + kπ → x = π/4 + kπ/2.
- Для второго случая: 2x = π/4 + kπ → x = π/8 + kπ/2.
- Для третьего случая: 2x = 3π/4 + kπ → x = 3π/8 + kπ/2.
9. Теперь подберем значения x в диапазоне [π; 3π/2):
- Для x = π/4 + kπ/2:
- k = 1: x = π/4 + π/2 = 3π/4 (не подходит).
- k = 2: x = π/4 + π = 5π/4 (подходит).
- Для x = π/8 + kπ/2:
- k = 1: x = π/8 + π/2 = 5π/8 (не подходит).
- k = 2: x = π/8 + π = 9π/8 (подходит).
- Для x = 3π/8 + kπ/2:
- k = 1: x = 3π/8 + π/2 = 7π/8 (не подходит).
- k = 2: x = 3π/8 + π = 11π/8 (подходит).
10. Таким образом, все корни уравнения на отрезке [π; 3π/2) будут:
- x = 5π/4,
- x = 9π/8,
- x = 11π/8.
Ответ: 5π/4, 9π/8, 11π/8.