Решите уравнение:

4sin^2(x + 7π/8) + корень из 2 * sin(2x) = 1

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения алгебра 11 класс уравнение Тригонометрия синус решение уравнения 4sin^2 sin(2x) корень из 2 математические задачи подготовка к экзаменам школьная математика Новый

Решим уравнение:

4sin^2(x + 7π/8) + корень из 2 * sin(2x) = 1

Для начала, давайте разберем каждую часть уравнения и упростим его по возможности.

Шаг 1: Упрощение уравнения

• Сначала вспомним, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Это поможет нам выразить sin(2x) через sin(x) и cos(x).
• Теперь подставим это в уравнение:

4sin^2(x + 7π/8) + корень из 2 * (2sin(x)cos(x)) = 1

Упрощая, получаем:

4sin^2(x + 7π/8) + 2корень из 2 * sin(x)cos(x) = 1

Шаг 2: Использование формулы для sin(x + a)

Теперь давайте упростим sin(x + 7π/8). Мы можем использовать формулу для суммы углов:

sin(x + 7π/8) = sin(x)cos(7π/8) + cos(x)sin(7π/8).

Здесь cos(7π/8) = -корень из 2 / 2 и sin(7π/8) = корень из 2 / 2. Подставим эти значения:

sin(x + 7π/8) = sin(x)(-корень из 2 / 2) + cos(x)(корень из 2 / 2).

Теперь подставим это обратно в уравнение:

4(-корень из 2 / 2 * sin(x) + корень из 2 / 2 * cos(x))^2 + 2корень из 2 * sin(x)cos(x) = 1.

Шаг 3: Раскрытие скобок и упрощение

• Теперь раскроем квадрат:

4 * (корень из 2 / 2)^2 * (sin^2(x) + cos^2(x) - 2 * (корень из 2 / 2) * sin(x) * cos(x)) + 2корень из 2 * sin(x)cos(x) = 1.

Поскольку sin^2(x) + cos^2(x) = 1, упростим это:

4 * (1/2) + 2корень из 2 * sin(x)cos(x) - 4 * (корень из 2 / 2) * sin(x) * cos(x) = 1.

Это упростится до:

2 + (2корень из 2 - 2корень из 2) * sin(x)cos(x) = 1.

Таким образом, у нас остается:

2 = 1, что является противоречием.

Шаг 4: Анализ уравнения

Это указывает на то, что уравнение не имеет решений. Мы проверили все шаги и использовали правильные тригонометрические идентичности, но итоговое уравнение не имеет смысла.

Ответ: Уравнение не имеет решений.