Похожие вопросы
2025-09-10 18:00:00
Решите уравнение cos^2(x/3) - 7cos(x/3) + 4 = sin^2(x/3).
Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение алгебра решение cos sin Тригонометрия x корни математические задачи 11 класс Новый
2025-09-10 18:00:24
Для решения уравнения cos^2(x/3) - 7cos(x/3) + 4 = sin^2(x/3) начнем с того, что воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, которое гласит, что sin^2(a) + cos^2(a) = 1.
Таким образом, мы можем выразить sin^2(x/3) через cos^2(x/3):
- sin^2(x/3) = 1 - cos^2(x/3).
Теперь подставим это выражение в наше уравнение:
cos^2(x/3) - 7cos(x/3) + 4 = 1 - cos^2(x/3).
Приведем все члены уравнения к одной стороне:
- cos^2(x/3) + cos^2(x/3) - 7cos(x/3) + 4 - 1 = 0.
- 2cos^2(x/3) - 7cos(x/3) + 3 = 0.
Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos(x/3). Обозначим y = cos(x/3). Тогда уравнение принимает вид:
2y^2 - 7y + 3 = 0.
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
- D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 * 2 * 3 = 49 - 24 = 25.
Дискриминант положительный, значит, у уравнения есть два различных корня. Находим корни:
- y1 = (7 + sqrt(25)) / (2 * 2) = (7 + 5) / 4 = 12 / 4 = 3.
- y2 = (7 - sqrt(25)) / (2 * 2) = (7 - 5) / 4 = 2 / 4 = 0.5.
Теперь у нас есть два значения для y: y1 = 3 и y2 = 0.5.
Однако, cos(x/3) не может принимать значение больше 1, поэтому y1 = 3 не подходит. Оставляем только y2 = 0.5.
Теперь вернемся к переменной x:
cos(x/3) = 0.5.
Решим это уравнение:
- x/3 = arccos(0.5).
- x/3 = π/3 + 2kπ и x/3 = -π/3 + 2kπ, где k - целое число.
Теперь умножим обе стороны на 3:
- x = 3(π/3 + 2kπ) = π + 6kπ.
- x = 3(-π/3 + 2kπ) = -π + 6kπ.
Таким образом, общее решение уравнения:
x = π + 6kπ и x = -π + 6kπ, где k - целое число.