Чтобы определить, сколько решений имеет уравнение lg(x + 1) = x - 1, начнем с анализа обеих сторон уравнения.

Сначала вспомним, что функция lg(x) определена только для положительных значений x. Это означает, что x + 1 > 0, что приводит нас к условию:

• x > -1

Теперь рассмотрим обе стороны уравнения:

• Слева: функция lg(x + 1) является возрастающей и определена для x > -1.
• Справа: функция x - 1 также является возрастающей для всех x.

Теперь мы можем исследовать поведение обеих функций:

1. Когда x = 0, слева получаем lg(0 + 1) = lg(1) = 0, а справа x - 1 = 0 - 1 = -1.
2. Когда x = 1, слева получаем lg(1 + 1) = lg(2) ≈ 0.301, а справа x - 1 = 1 - 1 = 0.
3. Когда x = 2, слева получаем lg(2 + 1) = lg(3) ≈ 0.477, а справа x - 1 = 2 - 1 = 1.
4. Когда x = 3, слева получаем lg(3 + 1) = lg(4) = 2, а справа x - 1 = 3 - 1 = 2.

Теперь мы видим, что:

• При x = 0: lg(1) > -1.
• При x = 1: lg(2) > 0.
• При x = 2: lg(3) < 1.
• При x = 3: lg(4) = 2.

Теперь мы можем сделать вывод о том, что между x = 1 и x = 2 функция lg(x + 1) пересекает линию y = x - 1, так как слева она больше, а справа меньше. Это говорит о том, что существует хотя бы одно решение в этом интервале.

Также, учитывая, что обе функции являются возрастающими и пересекаются, можно сделать вывод, что у уравнения есть только одно решение. Таким образом, ответ: