Сколько способов можно выбрать группу студентов для проживания в общежитии, если 146 человек подали заявления, а свободных мест всего 92, с возможностью освободить еще 12 мест, переселив некоторых студентов?

Алгебра 11 класс Комбинаторика выбор группы студентов общежитие количество способов 146 человек свободные места 92 места переселение студентов освободить 12 мест Новый

Для решения задачи о выборе группы студентов для проживания в общежитии, давайте разберем все шаги по порядку.

У нас есть 146 студентов, которые подали заявления, и 92 свободных места. Однако у нас есть возможность освободить еще 12 мест, что увеличивает общее количество свободных мест до:

• 92 (изначально свободных мест) + 12 (освобождаемых мест) = 104 свободных места.

Теперь нам нужно выбрать группу студентов из 146 человек, чтобы они разместились в 104 свободных местах. Это означает, что мы можем выбрать до 104 студентов.

Для выбора группы студентов мы можем использовать формулу сочетаний, которая обозначает количество способов выбрать n элементов из m без учета порядка:

C(m, n) = m! / (n! * (m - n)!),

где:

• m - общее количество студентов (в нашем случае 146),
• n - количество студентов, которых мы хотим выбрать (от 0 до 104).

Теперь нам нужно посчитать количество способов выбрать студентов для всех возможных значений n от 0 до 104. Это можно сделать, суммируя значения сочетаний:

Общее количество способов = C(146, 0) + C(146, 1) + ... + C(146, 104)

Однако, для упрощения расчетов можно использовать свойство биномиальных коэффициентов, которое гласит, что сумма всех сочетаний от 0 до n равна 2^n. В нашем случае:

Сумма всех сочетаний от 0 до 146 равна 2^146.

Но нам нужно только от 0 до 104. Для этого можно воспользоваться следующим свойством:

Сумма сочетаний от 0 до n равна сумме сочетаний от n+1 до 2n. Таким образом, мы можем сказать, что:

C(146, 0) + C(146, 1) + ... + C(146, 104) = 1/2 * 2^146.

Таким образом, общее количество способов выбрать группу студентов для проживания в общежитии, если 146 человек подали заявления, а свободных мест всего 104, равно:

2^145.

Это и есть количество способов, которые мы искали.