Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции y = x^3 + 9x^2 + 15x на отрезке [-3; 2], необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции.

Сначала найдем производную функции y по x:

y' = 3x^2 + 18x + 15.

2. Найти критические точки.

Для этого необходимо решить уравнение y' = 0:

3x^2 + 18x + 15 = 0.

Упростим уравнение, разделив его на 3:

x^2 + 6x + 5 = 0.

Теперь применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 6, c = 5.

Подставим значения:

x = (-6 ± √(6² - 4 * 1 * 5)) / (2 * 1) = (-6 ± √(36 - 20)) / 2 = (-6 ± √16) / 2.

Корни будут:

• x1 = (-6 + 4) / 2 = -1;
• x2 = (-6 - 4) / 2 = -5.

Критическая точка x = -1 находится в пределах отрезка [-3; 2], а x = -5 — вне его.

3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.

Теперь подставим найденные точки и концы отрезка в функцию y:

• y(-3) = (-3)^3 + 9*(-3)^2 + 15*(-3) = -27 + 81 - 45 = 9;
• y(-1) = (-1)^3 + 9*(-1)^2 + 15*(-1) = -1 + 9 - 15 = -7;
• y(2) = (2)^3 + 9*(2)^2 + 15*(2) = 8 + 36 + 30 = 74.
4. Сравнить найденные значения.

Теперь у нас есть три значения:

• y(-3) = 9;
• y(-1) = -7;
• y(2) = 74.

Наибольшее значение функции на отрезке [-3; 2] равно 74 (при x = 2), а наименьшее значение равно -7 (при x = -1).

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке [-3; 2] равно 74, наименьшее значение равно -7.