1. log4(x) = 3

Чтобы решить это уравнение, мы можем воспользоваться определением логарифма:

• log4(x) = 3 означает, что 4 в степени 3 равно x.
• 4^3 = 64, следовательно, x = 64.

2. log0,1(x-7) = -1

Здесь мы также используем определение логарифма:

• log0,1(x-7) = -1 означает, что 0,1 в степени -1 равно x - 7.
• 0,1 в степени -1 = 10, следовательно, x - 7 = 10.
• Добавляем 7 к обеим сторонам: x = 10 + 7 = 17.

3. log1/81(x² + 26x) = -0,75

Сначала преобразуем -0,75:

• -0,75 = -3/4, значит, log1/81(x² + 26x) = -3/4.
• 1/81 в степени -3/4 = x² + 26x.
• 1/81 = 3^(-4), следовательно, (3^4)^(3/4) = 27, и x² + 26x = 27.
• Теперь решим уравнение: x² + 26x - 27 = 0. Используем дискриминант D = b² - 4ac = 26² - 4 * 1 * (-27) = 676 + 108 = 784.
• Корни: x = (-26 ± √784) / 2 = (-26 ± 28) / 2. Получаем x1 = 1 и x2 = -27.

4. log1/3(2x² + 4x - 7) = log1/3(x + 2)

Поскольку логарифмы равны, то их аргументы равны:

• 2x² + 4x - 7 = x + 2.
• Переносим все в одну сторону: 2x² + 3x - 9 = 0.
• Решаем с помощью дискриминанта: D = 3² - 4 * 2 * (-9) = 9 + 72 = 81.
• Корни: x = (-3 ± √81) / 4 = (-3 ± 9) / 4. Получаем x1 = 1.5 и x2 = -3.

5. lg(2x - 1) + lg(x - 9) = 2

Сначала объединим логарифмы:

• lg((2x - 1)(x - 9)) = 2.
• Это означает, что (2x - 1)(x - 9) = 100.
• Раскрываем скобки: 2x² - 18x - x + 9 = 100.
• 2x² - 19x - 91 = 0. Решаем с помощью дискриминанта: D = (-19)² - 4 * 2 * (-91) = 361 + 728 = 1089.
• Корни: x = (19 ± √1089) / 4 = (19 ± 33) / 4. Получаем x1 = 13 и x2 = -3.5.

6. log6(x² - x - 2) = log6(2 - x)

Аргументы логарифмов равны:

• x² - x - 2 = 2 - x.
• Переносим все в одну сторону: x² = 0.
• Решение: x = 0.

7. log²2(x) + 3log2(x) - 4 = 0

Пусть y = log2(x). У нас получится квадратное уравнение:

• y² + 3y - 4 = 0.
• Решим его с помощью дискриминанта: D = 3² - 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25.
• Корни: y = (-3 ± 5) / 2. Получаем y1 = 1 и y2 = -4.
• Теперь возвращаемся к логарифму: log2(x) = 1 => x = 2, log2(x) = -4 => x = 1/16.

8. log5(x) + logx(5) = 25

Обозначим log5(x) = y. Тогда logx(5) = 1/y:

• y + 1/y = 25.
• Умножим на y: y² - 25y + 1 = 0.
• Решим с помощью дискриминанта: D = (-25)² - 4 * 1 * 1 = 625 - 4 = 621.
• Корни: y = (25 ± √621) / 2.

На этом этапе мы получили все решения. Если у вас есть дополнительные вопросы по конкретным шагам, не стесняйтесь спрашивать!