Чтобы выяснить, существуют ли такие натуральные числа m и n, которые удовлетворяют уравнению mn(m-n) = 2007, давайте сначала разберем само уравнение.

Мы видим, что 2007 можно разложить на множители. Для этого найдем его делители. Начнем с разложения числа 2007 на простые множители:

• 2007 делится на 3 (так как сумма цифр 2 + 0 + 0 + 7 = 9 делится на 3): 2007 / 3 = 669.
• 669 также делится на 3: 669 / 3 = 223.
• 223 — это простое число.

Таким образом, разложение 2007 на простые множители выглядит так:

2007 = 3^2 * 223

Теперь рассмотрим выражение mn(m-n). Оно состоит из трех множителей: mn и (m-n). Мы можем выразить m и n через x и y, где x = mn, а y = m-n. Тогда у нас будет x * y = 2007.

Теперь найдем все пары (x, y), которые удовлетворяют этому равенству. Для этого перечислим все делители числа 2007:

• 1
• 3
• 9
• 223
• 669
• 2007

Теперь для каждой пары делителей (x, y) мы можем попытаться найти соответствующие m и n. Из уравнения y = m - n, мы можем выразить n как n = m - y. Подставим это в x = mn:

x = m(m - y) = m^2 - my.

Теперь у нас есть квадратное уравнение:

m^2 - my - x = 0.

Решим его по формуле для квадратных уравнений:

m = (y ± √(y^2 + 4x)) / 2.

Теперь нам нужно, чтобы m и n были натуральными числами, что означает, что выражение под корнем (y^2 + 4x) должно быть полным квадратом, и m должно быть натуральным.

Теперь проверим каждую пару делителей:

1. Для (1, 2007): m = (2007 ± √(2007^2 + 4*1)) / 2. Это не дает натуральных чисел.
2. Для (3, 669): m = (669 ± √(669^2 + 4*3)) / 2. Это также не дает натуральных чисел.
3. Для (9, 223): m = (223 ± √(223^2 + 4*9)) / 2. Это также не дает натуральных чисел.
4. Для (223, 9): m = (9 ± √(9^2 + 4*223)) / 2. Это также не дает натуральных чисел.
5. Для (669, 3): m = (3 ± √(3^2 + 4*669)) / 2. Это также не дает натуральных чисел.
6. Для (2007, 1): m = (1 ± √(1^2 + 4*2007)) / 2. Это также не дает натуральных чисел.

Таким образом, мы проверили все возможные пары делителей и не нашли натуральные числа m и n, удовлетворяющие уравнению mn(m-n) = 2007.

Ответ: Нет, таких натуральных чисел m и n не существует.