Тема: Комплексные числа

Каковы результаты выполнения следующих действий:

(3-4i)(4-3i) / (2+i)

Алгебра 11 класс Комплексные числа алгебра 11 класс комплексные числа действия с комплексными числами вычисление комплексных чисел деление комплексных чисел Новый

Для решения данного выражения (3-4i)(4-3i) / (2+i) мы будем следовать нескольким шагам: сначала умножим комплексные числа в числителе, затем разделим результат на комплексное число в знаменателе.

Шаг 1: Умножение комплексных чисел в числителе

У нас есть два комплексных числа: 3 - 4i и 4 - 3i. Мы можем использовать формулу умножения комплексных чисел (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2. В нашем случае:

• a = 3, b = -4, c = 4, d = -3.

Теперь подставим значения в формулу:

• ac = 3 * 4 = 12,
• adi = 3 * (-3)i = -9i,
• bci = (-4) * 4i = -16i,
• bdi^2 = (-4) * (-3) * i^2 = 12 (так как i^2 = -1).

Теперь сложим все эти части:

• 12 + (-9i) + (-16i) + 12 = 12 + 12 - 25i = 24 - 25i.

Шаг 2: Разделение на комплексное число в знаменателе

Теперь у нас есть результат умножения в числителе: 24 - 25i, и мы должны разделить его на 2 + i. Для этого мы умножим числитель и знаменатель на сопряженное число к знаменателю, которое в данном случае равно 2 - i.

Таким образом, мы получаем:

• (24 - 25i)(2 - i) / ((2 + i)(2 - i)).

Шаг 3: Умножение числителя

Теперь умножим (24 - 25i)(2 - i):

• 24 * 2 = 48,
• 24 * (-i) = -24i,
• -25i * 2 = -50i,
• -25i * (-i) = 25 (так как i^2 = -1).

Теперь сложим все части:

• 48 + 25 + (-24i) + (-50i) = 73 - 74i.

Шаг 4: Умножение знаменателя

Теперь посчитаем знаменатель (2 + i)(2 - i):

• 2 * 2 = 4,
• 2 * (-i) = -2i,
• i * 2 = 2i,
• i * (-i) = -i^2 = 1.

Сложим все части:

• 4 + 1 + (-2i) + 2i = 5.

Шаг 5: Завершение деления

Теперь мы можем записать результат деления:

• (73 - 74i) / 5.

Теперь разделим действительную и мнимую части на 5:

• 73 / 5 - (74 / 5)i.

Таким образом, окончательный ответ:

Результат: 73/5 - (74/5)i или в десятичной форме: 14.6 - 14.8i.