Тригонеметрия! Можете, пожалуйста, помочь решить уравнение: 2 + sin(x) = 3 * tg(x/2)?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения Тригонометрия уравнение sin tg решение алгебра 11 класс математические функции угловые функции Новый

Конечно, давайте решим уравнение 2 + sin(x) = 3 * tg(x/2) шаг за шагом.

Шаг 1: Перепишем уравнение, чтобы выделить тригонометрические функции:

• sin(x) = 3 * tg(x/2) - 2

Шаг 2: Напомним, что tg(x/2) можно выразить через sin и cos:

• tg(x/2) = sin(x/2) / cos(x/2)

Теперь подставим это в уравнение:

• sin(x) = 3 * (sin(x/2) / cos(x/2)) - 2

Шаг 3: Используем формулу для sin(x) через sin(x/2) и cos(x/2):

• sin(x) = 2 * sin(x/2) * cos(x/2)

Теперь у нас есть:

• 2 * sin(x/2) * cos(x/2) = 3 * (sin(x/2) / cos(x/2)) - 2

Шаг 4: Умножим обе стороны на cos(x/2), чтобы избавиться от дроби (при условии, что cos(x/2) ≠ 0):

• 2 * sin(x/2) * cos^2(x/2) = 3 * sin(x/2) - 2 * cos(x/2)

Шаг 5: Переносим все в одну сторону:

• 2 * sin(x/2) * cos^2(x/2) - 3 * sin(x/2) + 2 * cos(x/2) = 0

Шаг 6: Вынесем sin(x/2) за скобки:

• sin(x/2) * (2 * cos^2(x/2) - 3) + 2 * cos(x/2) = 0

Шаг 7: Теперь у нас есть два множителя:

• sin(x/2) = 0
• 2 * cos^2(x/2) - 3 + 2 * cos(x/2) = 0

Шаг 8: Решим первое уравнение:

• sin(x/2) = 0
• Это означает, что x/2 = n * π, где n - целое число.
• Следовательно, x = 2n * π.

Шаг 9: Теперь решим второе уравнение:

• 2 * cos^2(x/2) + 2 * cos(x/2) - 3 = 0

Это квадратное уравнение относительно cos(x/2). Обозначим y = cos(x/2):

• 2y^2 + 2y - 3 = 0

Шаг 10: Найдем корни с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 2 * (-3) = 4 + 24 = 28.

Шаг 11: Находим корни:

• y1 = (-2 + √28) / (2 * 2) = (−2 + 2√7) / 4 = (−1 + √7) / 2
• y2 = (-2 - √28) / (2 * 2) = (−2 - 2√7) / 4 = (−1 - √7) / 2

Шаг 12: Теперь нужно проверить, какие из этих корней лежат в диапазоне [-1, 1]:

• (−1 + √7) / 2 примерно равно 0.822, что допустимо.
• (−1 - √7) / 2 примерно равно -1.822, что не допустимо.

Шаг 13: Теперь находим угол, соответствующий cos(x/2) = (−1 + √7) / 2:

• x/2 = arccos((−1 + √7) / 2) + 2kπ или x/2 = -arccos((−1 + √7) / 2) + 2kπ.
• Следовательно, x = 2 * arccos((−1 + √7) / 2) + 4kπ или x = -2 * arccos((−1 + √7) / 2) + 4kπ.

Шаг 14: Объединяем все решения:

• x = 2n * π (где n - целое число)
• x = 2 * arccos((−1 + √7) / 2) + 4kπ
• x = -2 * arccos((−1 + √7) / 2) + 4kπ

Таким образом, мы нашли все решения уравнения. Если у вас есть дополнительные вопросы или что-то непонятно, не стесняйтесь спрашивать!