У нас есть функция y=2x^2-x^4. Необходимо выполнить следующие задания:

1. Определить область определения функции.
2. Выяснить, является ли функция четной или нечетной, а также периодической или нет.
3. Найти производную функции.
4. Определить интервалы монотонности функции.
5. Найти точки экстремума и значения функции в этих точках.
6. Проверить наличие асимптот.
7. Определить точки пересечения с осями координат.
8. Проанализировать поведение функции в окрестности особых точек.

Алгебра 11 класс Исследование функций функция y=2x^2-x^4 область определения функции четная нечетная функция периодическая функция производная функции интервалы монотонности точки экстремума Асимптоты функции точки пересечения с осями анализ поведения функции Новый

Давайте последовательно разберем все задания для функции y = 2x^2 - x^4.

1. Определение области определения функции.

Функция y = 2x^2 - x^4 является многочленом, а многочлены определены для всех действительных чисел. Следовательно, область определения функции:

• Область определения: R (все действительные числа).

2. Четность/нечетность и периодичность функции.

Чтобы определить, является ли функция четной или нечетной, проверим:

• f(-x) = 2(-x)^2 - (-x)^4 = 2x^2 - x^4 = f(x).

Так как f(-x) = f(x), функция является четной. Периодичность функции отсутствует, так как четные функции не обязательно периодические. В данном случае:

• Функция четная.
• Функция не периодическая.

3. Нахождение производной функции.

Найдем производную функции y = 2x^2 - x^4. Используем правила дифференцирования:

• y' = d(2x^2)/dx - d(x^4)/dx = 4x - 4x^3.

Таким образом, производная:

• y' = 4x - 4x^3.

4. Определение интервалов монотонности функции.

Для нахождения интервалов монотонности, найдем нули производной:

• 4x - 4x^3 = 0.
• 4x(1 - x^2) = 0.

Отсюда получаем:

• x = 0, x = 1, x = -1.

Теперь исследуем знаки производной на интервалах (-∞, -1), (-1, 0), (0, 1), (1, ∞):

• На интервале (-∞, -1): y' > 0 (функция возрастает).
• На интервале (-1, 0): y' < 0 (функция убывает).
• На интервале (0, 1): y' > 0 (функция возрастает).
• На интервале (1, ∞): y' < 0 (функция убывает).

5. Нахождение точек экстремума и значений функции в этих точках.

Экстремумы находятся в точках x = -1, 0, 1. Подставим эти значения в исходную функцию:

• f(-1) = 2(-1)^2 - (-1)^4 = 2 - 1 = 1.
• f(0) = 2(0)^2 - (0)^4 = 0.
• f(1) = 2(1)^2 - (1)^4 = 2 - 1 = 1.

Таким образом, у нас есть:

• Минимум в точке (0, 0).
• Максимумы в точках (-1, 1) и (1, 1).

6. Проверка наличия асимптот.

Функция является многочленом, и у нее нет асимптот, так как она определена на всей числовой прямой и не стремится к бесконечности.

7. Определение точек пересечения с осями координат.

Для нахождения точек пересечения с осями:

• С осью Y: подставляем x = 0, получаем точку (0, 0).
• С осью X: решаем уравнение 2x^2 - x^4 = 0, что дает x(2 - x^2) = 0. Таким образом, x = 0, x = √2, x = -√2.

Точки пересечения с осями координат:

• (0, 0), (√2, 0), (-√2, 0).

8. Анализ поведения функции в окрестности особых точек.

Теперь проанализируем поведение функции в окрестности точек:

• В точке x = -1: функция возрастает до 1, а затем убывает.
• В точке x = 0: функция убывает до 0, а затем возрастает.
• В точке x = 1: функция возрастает до 1, а затем убывает.

Таким образом, мы видим, что функция имеет четкую структуру: максимум в точках (-1, 1) и (1, 1) и минимум в точке (0, 0).

Таким образом, все задания выполнены, и мы проанализировали функцию y = 2x^2 - x^4.