У нас есть функция y = x в кубе - 3x в квадрате + 4. Как найти промежутки, где функция возрастает и убывает, определить точки экстремума, а также выяснить наибольшее и наименьшее значение функции на интервале от -1 до 4?

Алгебра 11 класс Исследование функций функция y = x в кубе промежутки возрастания промежутки убывания точки экстремума Наибольшее значение функции наименьшее значение функции интервал от -1 до 4 Новый

Чтобы проанализировать функцию y = x^3 - 3x^2 + 4, нам нужно выполнить несколько шагов: найти производную функции, определить критические точки, выяснить, где функция возрастает и убывает, а также найти наибольшее и наименьшее значения на заданном интервале.

Шаг 1: Найдем производную функции

Производная функции y обозначается как y'. Находим производную по правилу дифференцирования:

• y' = 3x^2 - 6x

Шаг 2: Найдем критические точки

Критические точки находятся, когда производная равна нулю или не существует. Уравняем производную нулю:

• 3x^2 - 6x = 0

Вынесем общий множитель:

• 3x(x - 2) = 0

Таким образом, критические точки:

• x = 0
• x = 2

Шаг 3: Определим знаки производной

Теперь нам нужно выяснить, где функция возрастает и убывает. Для этого рассмотрим интервалы, образованные критическими точками:

• Интервал 1: (-∞, 0)
• Интервал 2: (0, 2)
• Интервал 3: (2, ∞)

Выберем тестовые точки из каждого интервала:

• Для интервала (-∞, 0), например, x = -1: y'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 (положительно, значит функция возрастает)
• Для интервала (0, 2), например, x = 1: y'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 (отрицательно, значит функция убывает)
• Для интервала (2, ∞), например, x = 3: y'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 (положительно, значит функция возрастает)

Итак, мы можем сделать вывод:

• Функция возрастает на интервалах: (-∞, 0) и (2, ∞)
• Функция убывает на интервале: (0, 2)

Шаг 4: Определим точки экстремума

Теперь найдем значения функции в критических точках:

• y(0) = 0^3 - 3*0^2 + 4 = 4
• y(2) = 2^3 - 3*2^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0

Таким образом, у нас есть:

• Точка минимума (0, 4)
• Точка максимума (2, 0)

Шаг 5: Найдем наибольшее и наименьшее значение на интервале [-1, 4]

Теперь нужно проверить значения функции на границах интервала и в критических точках:

• y(-1) = (-1)^3 - 3*(-1)^2 + 4 = -1 - 3 + 4 = 0
• y(0) = 4 (уже нашли)
• y(2) = 0 (уже нашли)
• y(4) = 4^3 - 3*4^2 + 4 = 64 - 48 + 4 = 20

Теперь сравниваем все найденные значения:

• y(-1) = 0
• y(0) = 4
• y(2) = 0
• y(4) = 20

Наибольшее значение функции на интервале [-1, 4] равно 20, а наименьшее значение равно 0.

Итог:

• Функция возрастает на интервалах: (-∞, 0) и (2, ∞)
• Функция убывает на интервале: (0, 2)
• Точка минимума: (0, 4)
• Точка максимума: (2, 0)
• Наибольшее значение на интервале [-1, 4]: 20
• Наименьшее значение на интервале [-1, 4]: 0