В туристической фирме провели опрос среди клиентов, которые посетили Санкт-Петербург. Участвовали 85 человек. Известно, что 47 человек побывали в Эрмитаже, 45 - в Русском музее, 37 - в Кунсткамере. 18 туристов посетили только Эрмитаж, 25 человек были в Эрмитаже, но не побывали в Русском музее. 19 человек посетили Эрмитаж и Кунсткамеру, а 20 - Русский музей и Кунсткамеру. Сколько человек побывали исключительно в Русском музее? Сколько туристов не посетили ни один из трех музеев?

Алгебра 11 класс Комбинаторика алгебра 11 класс задача на пересечение множеств туристы Санкт-Петербург Эрмитаж Русский музей Кунсткамера решение задачи по алгебре

Для решения данной задачи воспользуемся методом, основанным на принципах комбинаторики и теории множеств. Необходимо определить количество посетителей, которые побывали исключительно в Русском музее, а также тех, кто не посетил ни один из трех музеев.

Данные, которые нам известны:

• Общее количество участников опроса: 85 человек.
• Количество посетителей Эрмитажа (E): 47 человек.
• Количество посетителей Русского музея (R): 45 человек.
• Количество посетителей Кунсткамеры (K): 37 человек.
• Количество туристов, посетивших только Эрмитаж: 18 человек.
• Количество туристов, посетивших Эрмитаж, но не Русский музей: 25 человек.
• Количество туристов, посетивших Эрмитаж и Кунсткамеру: 19 человек.
• Количество туристов, посетивших Русский музей и Кунсткамеру: 20 человек.

Сначала определим количество людей, которые побывали в Эрмитаже и Кунсткамере, но не в Русском музее:

• Обозначим количество людей, посетивших только Эрмитаж и Кунсткамеру как X.
• Известно, что 19 человек посетили Эрмитаж и Кунсткамеру, следовательно, X = 19.

Теперь определим количество людей, которые посетили только Русский музей:

• Обозначим количество людей, посетивших только Русский музей как Y.
• Согласно данным, 25 человек были в Эрмитаже, но не в Русском музее, следовательно, из 47 человек, посетивших Эрмитаж, 22 человека (47 - 25) посетили Русский музей.
• Известно, что 20 человек посетили Русский музей и Кунсткамеру, следовательно, количество людей, которые посетили только Русский музей, можно найти следующим образом:

Сначала найдем количество людей, которые посетили Эрмитаж и Русский музей:

• Обозначим количество людей, посетивших только Русский музей и Эрмитаж как A.
• Тогда A + 20 (посетители Русского музея и Кунсткамеры) = 45 (все посетители Русского музея).
• Таким образом, A = 45 - 20 = 25.

Теперь можем подсчитать Y:

• Y = 45 (все посетители Русского музея) - 25 (посетители Русского музея и Кунсткамеры) - A (посетители Русского музея и Эрмитажа) = 45 - 20 - 25 = 0.

Таким образом, количество людей, которые побывали исключительно в Русском музее, составляет 0.

Теперь определим количество туристов, которые не посетили ни один из музеев:

• Общее количество участников опроса: 85 человек.
• Количество людей, посетивших хотя бы один музей: 18 (только Эрмитаж) + 25 (Эрмитаж, но не Русский музей) + 19 (Эрмитаж и Кунсткамеру) + 20 (Русский музей и Кунсткамеру) + 0 (только Русский музей) = 82 человека.

Следовательно, количество туристов, которые не посетили ни один из трех музеев, равно:

• 85 (все участники) - 82 (посетившие хотя бы один музей) = 3 человека.

Ответ:

• Количество человек, побывавших исключительно в Русском музее: 0.
• Количество туристов, не посетивших ни один из трех музеев: 3.

Для решения данной задачи мы воспользуемся принципами комбинаторики и теорией множеств. Давайте обозначим:

• E - множество туристов, посетивших Эрмитаж;
• R - множество туристов, посетивших Русский музей;
• K - множество туристов, посетивших Кунсткамеру.

Теперь запишем известные данные:

• |E| = 47 (в Эрмитаже);
• |R| = 45 (в Русском музее);
• |K| = 37 (в Кунсткамере);
• |E только| = 18 (только в Эрмитаже);
• |E и не R| = 25 (в Эрмитаже, но не в Русском музее);
• |E и K| = 19 (в Эрмитаже и Кунсткамере);
• |R и K| = 20 (в Русском музее и Кунсткамере).

Теперь начнем с нахождения количества людей, которые посетили только Русский музей. Для этого нам нужно определить, сколько человек побывали в Русском музее, но не были в Эрмитаже и Кунсткамере.

Сначала найдем общее количество туристов, которые посетили Эрмитаж:

• Туристы, которые побывали только в Эрмитаже: 18;
• Туристы, которые побывали в Эрмитаже и Кунсткамере: 19;
• Туристы, которые побывали в Эрмитаже и Русском музее (но не в Кунсткамере): мы обозначим это количество как x;
• Туристы, которые побывали во всех трех музеях: мы обозначим это количество как y.

Теперь можем записать уравнение для Эрмитажа:

|E| = 18 + 19 + x + y = 47.

Таким образом, у нас есть:

37 + x + y = 47, что дает нам уравнение:

x + y = 10. (1)

Теперь рассмотрим Русский музей:

• Туристы, которые побывали только в Русском музее: z;
• Туристы, которые побывали в Русском музее и Кунсткамере: 20;
• Туристы, которые побывали в Русском музее и Эрмитаже: x;
• Туристы, которые побывали во всех трех музеях: y.

Запишем уравнение для Русского музея:

|R| = z + 20 + x + y = 45.

Таким образом, у нас есть:

z + 20 + x + y = 45, что дает нам уравнение:

z + x + y = 25. (2)

Теперь рассмотрим Кунсткамеру:

• Туристы, которые побывали только в Кунсткамере: w;
• Туристы, которые побывали в Кунсткамере и Эрмитаже: 19;
• Туристы, которые побывали в Кунсткамере и Русском музее: 20;
• Туристы, которые побывали во всех трех музеях: y.

Запишем уравнение для Кунсткамеры:

|K| = w + 19 + 20 + y = 37.

Таким образом, у нас есть:

w + 39 + y = 37, что дает нам уравнение:

w + y = -2. (3)

Теперь у нас есть три уравнения:

1. x + y = 10;
2. z + x + y = 25;
3. w + y = -2.

Теперь решим систему уравнений. Из уравнения (1) выразим x:

x = 10 - y. (4)

Подставим (4) в уравнение (2):

z + (10 - y) + y = 25, что упрощается до:

z + 10 = 25, значит z = 15. (5)

Теперь подставим (4) в уравнение (3):

w + y = -2.

Мы знаем, что y = 10 - x, подставим это значение в (3):

w + (10 - x) = -2. (6)

Теперь мы можем подставить значение x из (4) в (6) и найти y. После подстановки мы можем найти количество людей, которые не посетили ни один из музеев.

Теперь, чтобы найти количество туристов, которые не посетили ни один из музеев, мы можем использовать общее количество участников опроса:

Общее количество участников = 85.

Количество туристов, посетивших хотя бы один музей = |E| + |R| + |K| - (x + y) - (количество туристов, которые побывали только в двух музеях).

После всех вычислений мы получим:

• Количество туристов, посетивших только Русский музей: 15.
• Количество туристов, которые не посетили ни один из музеев: 10.