В убывающей арифметической прогрессии сумма третьего и седьмого членов составляет 6, а их произведение равно 8. Как можно определить сумму первых шестнадцати членов этой прогрессии?

Алгебра 11 класс Арифметическая прогрессия арифметическая прогрессия сумма членов убывающая прогрессия третий член седьмой член произведение членов сумма первых членов решение задачи алгебра 11 класс Новый

Для решения задачи о нахождении суммы первых шестнадцати членов убывающей арифметической прогрессии, где известны сумма и произведение третьего и седьмого членов, необходимо выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Определение формул для членов прогрессии.

Арифметическая прогрессия характеризуется первым членом a и разностью d. Члены прогрессии можно выразить следующим образом:

• Третий член: a + 2d
• Седьмой член: a + 6d

Шаг 2: Запись уравнений на основе условий задачи.

Согласно условиям задачи, сумма третьего и седьмого членов равна 6:

(a + 2d) + (a + 6d) = 6

Упрощая, получаем:

2a + 8d = 6

Из этого уравнения можно выразить a через d:

a = 3 - 4d

Также известно, что их произведение равно 8:

(a + 2d)(a + 6d) = 8

Подставляя значение a из первого уравнения, получаем:

((3 - 4d) + 2d)((3 - 4d) + 6d) = 8

Упрощая, имеем:

(3 - 2d)(3 + 2d) = 8

Это выражение можно привести к виду:

9 - 4d^2 = 8

Отсюда следует:

4d^2 = 1

d^2 = 1/4

d = 1/2 или d = -1/2

Шаг 3: Нахождение значения a.

Подставим найденное значение d в уравнение для a:

• Если d = 1/2: a = 3 - 4(1/2) = 1
• Если d = -1/2: a = 3 - 4(-1/2) = 5

Шаг 4: Определение суммы первых шестнадцати членов.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

S_n = n/2 * (2a + (n - 1)d)

Для n = 16 подставим значения a и d:

• Если a = 1 и d = 1/2:

S_16 = 16/2 * (2*1 + (16 - 1)(1/2)) = 8 * (2 + 7.5) = 8 * 9.5 = 76

• Если a = 5 и d = -1/2:

S_16 = 16/2 * (2*5 + (16 - 1)(-1/2)) = 8 * (10 - 7.5) = 8 * 2.5 = 20

Вывод:

Сумма первых шестнадцати членов данной арифметической прогрессии может быть равна 76 или 20 в зависимости от выбора значений a и d.