В задании рассматривается прямоугольный параллелепипед ABDA1B1C1D1, в котором диагональ образует угол 60 градусов с рёбрами B1C1 и D1C1. Какой угол образуют прямые AC1 и CC1?

Алгебра 11 класс Геометрия в пространстве алгебра 11 класс прямоугольный параллелепипед угол между прямыми диагональ параллелепипеда задачи по алгебре Новый

Для решения задачи начнем с анализа геометрии прямоугольного параллелепипеда и определения необходимых углов.

Шаг 1: Определение координат точек.

Предположим, что параллелепипед задан следующими координатами:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(1, 1, 0)
• D(0, 1, 0)
• A1(0, 0, 1)
• B1(1, 0, 1)
• C1(1, 1, 1)
• D1(0, 1, 1)

Шаг 2: Определение векторов.

Теперь найдем вектор диагонали A1C:

• Вектор A1C = C - A1 = (1, 1, 0) - (0, 0, 1) = (1, 1, -1)

Также определим векторы B1C1 и D1C1:

• Вектор B1C1 = C1 - B1 = (1, 1, 1) - (1, 0, 1) = (0, 1, 0)
• Вектор D1C1 = C1 - D1 = (1, 1, 1) - (0, 1, 1) = (1, 0, 0)

Шаг 3: Использование скалярного произведения.

По условию, угол между диагональю A1C и рёбрами B1C1 и D1C1 равен 60 градусов. Мы можем использовать скалярное произведение для нахождения этого угла.

Скалярное произведение двух векторов определяется как:

u · v = |u| * |v| * cos(θ)

где θ - угол между векторами u и v.

Шаг 4: Угол между векторами.

Теперь найдем угол между векторами AC1 и CC1. Для этого определим векторы:

• Вектор AC1 = C1 - A = (1, 1, 1) - (0, 0, 0) = (1, 1, 1)
• Вектор CC1 = C1 - C = (1, 1, 1) - (1, 1, 0) = (0, 0, 1)

Теперь найдем скалярное произведение AC1 и CC1:

• AC1 · CC1 = (1, 1, 1) · (0, 0, 1) = 1

Теперь найдем длины векторов:

• |AC1| = sqrt(1^2 + 1^2 + 1^2) = sqrt(3)
• |CC1| = sqrt(0^2 + 0^2 + 1^2) = 1

Теперь можем найти угол между векторами AC1 и CC1:

cos(θ) = (AC1 · CC1) / (|AC1| * |CC1|)

Подставим значения:

cos(θ) = 1 / (sqrt(3) * 1) = 1/sqrt(3)

Теперь найдем угол θ:

θ = arccos(1/sqrt(3))

Ответ: Угол между прямыми AC1 и CC1 равен arccos(1/sqrt(3)), что примерно составляет 54.74 градуса.