Похожие вопросы
2025-11-02 06:49:56
В5. Какое количество корней уравнения tg x + ctg x - 4sin 2x = 0 находится в пределах отрезка [-2π; 2π]?
Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения количество корней уравнение tg x ctg x 4sin 2x отрезок [-2π; 2π] алгебра 11 класс тригонометрические функции
2025-11-02 06:50:12
Для решения уравнения tg x + ctg x - 4sin 2x = 0 сначала упростим его. Заменим ctg x на 1/tg x:
tg x + 1/tg x - 4sin 2x = 0.
Теперь выразим sin 2x через tg x. Мы знаем, что:
sin 2x = 2sin x * cos x = 2 * (tg x * cos^2 x) = 2 * (tg x / (1 + tg^2 x)).
Подставим это в уравнение:
tg x + 1/tg x - 4 * 2 * (tg x / (1 + tg^2 x)) = 0.
Упростим это уравнение. Умножим обе стороны на tg x * (1 + tg^2 x), чтобы избавиться от дробей. В результате получаем:
tg^2 x * (1 + tg^2 x) + (1 + tg^2 x) - 8tg^2 x = 0.
Теперь упростим это уравнение:
tg^2 x + 1 - 7tg^2 x = 0.
Соберем все члены:
-6tg^2 x + 1 = 0.
Отсюда:
tg^2 x = 1/6.
Теперь найдем tg x:
tg x = ±√(1/6) = ±1/√6.
Теперь нам нужно найти количество корней в пределах отрезка [-2π; 2π].
tg x имеет период π, поэтому мы будем искать корни в пределах одного периода, а затем умножим их количество на 4 (так как [-2π; 2π] включает в себя 4 периода).
В пределах одного периода [0; π] у нас есть два решения:
- tg x = 1/√6
- tg x = -1/√6
Таким образом, в пределах одного полного периода [0; π] мы имеем 2 корня. Поскольку период tg x равен π, то в пределах отрезка [-2π; 2π] будет:
2 (корня в [0; π]) * 4 (периода) = 8.
Следовательно, количество корней уравнения tg x + ctg x - 4sin 2x = 0 в пределах отрезка [-2π; 2π] равно 8.