1. Решите систему уравнений:

Система уравнений выглядит так:

• 3x - y = 3
• 2xy + y = 15

Начнем с первого уравнения. Из него выразим y:

1. y = 3x - 3

Теперь подставим это выражение для y во второе уравнение:

1. 2x(3x - 3) + (3x - 3) = 15
2. 6x² - 6x + 3x - 3 = 15
3. 6x² - 3x - 3 - 15 = 0
4. 6x² - 3x - 18 = 0

Упростим уравнение, разделив все коэффициенты на 3:

1. 2x² - x - 6 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

1. D = b² - 4ac = (-1)² - 4 * 2 * (-6) = 1 + 48 = 49

Корни уравнения:

1. x1 = (1 + √49) / (2 * 2) = 3 / 4 = 0.75
2. x2 = (1 - √49) / (2 * 2) = -6 / 4 = -1.5

Теперь подставим найденные значения x обратно в выражение для y:

• Для x1 = 0.75: y = 3 * 0.75 - 3 = -1.75
• Для x2 = -1.5: y = 3 * (-1.5) - 3 = -8.5

Таким образом, решения системы:

• (0.75, -1.75)
• (-1.5, -8.5)

2. Решите задачу с помощью системы уравнений:

Пусть a и b - стороны прямоугольника. У нас есть две формулы:

• Периметр: P = 2(a + b) = 100
• Площадь: S = a * b = 621

Из первого уравнения выразим b:

1. a + b = 50
2. b = 50 - a

Теперь подставим b во второе уравнение:

1. a * (50 - a) = 621
2. 50a - a² = 621
3. a² - 50a + 621 = 0

Находим дискриминант:

1. D = (-50)² - 4 * 1 * 621 = 2500 - 2484 = 16

Корни уравнения:

1. a1 = (50 + √16) / 2 = 26
2. a2 = (50 - √16) / 2 = 24

Теперь найдем b:

• Для a1 = 26: b = 50 - 26 = 24
• Для a2 = 24: b = 50 - 24 = 26

Таким образом, стороны прямоугольника равны 24 м и 26 м.

3. Изобразите на плоскости множество точек, заданных неравенством:

Неравенство 2x + y > 6. Сначала найдем уравнение прямой:

• y = -2x + 6

График этой прямой будет проходить через точки (0, 6) и (3, 0). Чтобы изобразить множество точек, удовлетворяющих неравенству, нужно закрасить область выше этой прямой.

4. Дано неравенство x² + 2xy - 11 ≥ 0 и точки A(2;3), B(-3;1). Укажите точку, координаты которой являются решением данного неравенства.

Для проверки подставим координаты точки A:

1. x = 2, y = 3: 2² + 2*2*3 - 11 = 4 + 12 - 11 = 5 ≥ 0 (да, точка A - решение)

Теперь проверим точку B:

1. x = -3, y = 1: (-3)² + 2*(-3)*1 - 11 = 9 - 6 - 11 = -8 < 0 (нет, точка B не является решением)

Таким образом, точка A(2;3) является решением неравенства.

5. Изобразите множество точек, заданных системой неравенств:

Система неравенств:

• x² + y² ≥ 9 (вне круга радиуса 3)
• y - x - 3 > 0 (выше прямой y = x + 3)

Чтобы изобразить множество точек, сначала нарисуем круг радиуса 3 с центром в начале координат и закрасим область вне этого круга. Затем нарисуем прямую y = x + 3 и закрасим область выше этой прямой. Пересечение этих двух областей будет являться решением системы неравенств.