Вопрос:
Как можно упростить следующее выражение
пример:
√((1 - cosa * cosb)² - sin²a * sin²b)?
ответ:
I cos a - cos b I

Алгебра 11 класс Упрощение тригонометрических выражений Упрощение выражения алгебра 11 класс корень выражения тригонометрические функции алгебраические преобразования Новый

Чтобы упростить выражение √((1 - cos a * cos b)² - sin² a * sin² b), давайте разберем его шаг за шагом.

1. Начнем с выражения под корнем:
• У нас есть (1 - cos a * cos b)². Это выражение можно раскрыть:
• (1 - cos a * cos b)² = 1 - 2 * cos a * cos b + (cos a * cos b)².
2. Теперь запишем полное выражение под корнем:
• √((1 - cos a * cos b)² - sin² a * sin² b) = √(1 - 2 * cos a * cos b + (cos a * cos b)² - sin² a * sin² b).
3. Используем тригонометрические тождества:
• Мы знаем, что sin² a = 1 - cos² a и sin² b = 1 - cos² b.
• Таким образом, sin² a * sin² b = (1 - cos² a)(1 - cos² b) = 1 - cos² a - cos² b + cos² a * cos² b.
4. Подставим это в наше выражение:
• Теперь под корнем будет: 1 - 2 * cos a * cos b + (cos a * cos b)² - (1 - cos² a - cos² b + cos² a * cos² b).
• Упрощая, мы получаем: 1 - 2 * cos a * cos b + (cos a * cos b)² - 1 + cos² a + cos² b - cos² a * cos² b.
• Соберем подобные слагаемые:
• Это будет: cos² a + cos² b - 2 * cos a * cos b.
• Теперь заметим, что это выражение равняется (cos a - cos b)².
5. Теперь подставим это обратно под корень:
• Таким образом, мы имеем: √((cos a - cos b)²).
• Извлекая корень, мы получаем: |cos a - cos b|.

Таким образом, окончательный результат упрощения выражения: |cos a - cos b|.