Вопрос: Как решить неравенство: log{2-x}(x+2) * log{x+3}(3-x) ≤ 0?

Алгебра 11 класс Неравенства с логарифмами решение неравенства логарифмическое неравенство алгебра 11 класс log 2-x log x+3 неравенство ≤ 0 свойства логарифмов график логарифмов Новый

Для решения неравенства log_{2-x}(x+2) * log_{x+3}(3-x) ≤ 0 необходимо учитывать несколько важных моментов: область определения логарифмов и свойства произведения.

Шаг 1: Определим область определения логарифмов.

• Логарифм log_{2-x}(x+2) определен, если:
• 2 - x > 0, то есть x < 2;
• x + 2 > 0, то есть x > -2.
• Следовательно, для этого логарифма область определения: -2 < x < 2.

• Логарифм log_{x+3}(3-x) определен, если:
• x + 3 > 0, то есть x > -3;
• 3 - x > 0, то есть x < 3.
• Следовательно, для этого логарифма область определения: -3 < x < 3.

Шаг 2: Объединим области определения.

Общая область определения будет: -2 < x < 2, так как это пересечение двух областей.

Шаг 3: Проанализируем знак произведения логарифмов.

Произведение log_{2-x}(x+2) * log_{x+3}(3-x) будет равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Шаг 4: Найдем точки, в которых каждый логарифм равен нулю.

• Для log_{2-x}(x+2) = 0:
• Это происходит, когда x + 2 = 1, то есть x = -1.
• Для log_{x+3}(3-x) = 0:
• Это происходит, когда 3 - x = 1, то есть x = 2.

Шаг 5: Определим знаки логарифмов на интервалах, образованных найденными точками.

Нам нужно проверить интервалы: (-2, -1), (-1, 2).

• На интервале (-2, -1):
• Выберем точку, например, x = -1.5:
• log_{2-(-1.5)}(-1.5 + 2) = log_{3.5}(0.5) - положительный;
• log_{-1.5 + 3}(3 - (-1.5)) = log_{1.5}(4.5) - положительный;
• Произведение положительное.
• На интервале (-1, 2):
• Выберем точку, например, x = 0:
• log_{2-0}(0+2) = log_{2}(2) = 1 - положительный;
• log_{0+3}(3-0) = log_{3}(3) = 1 - положительный;
• Произведение положительное.

Шаг 6: Учитываем, что мы ищем, когда произведение меньше или равно нулю.

Произведение будет равно нулю в точке x = -1. Таким образом, неравенство выполняется только в точке x = -1.

Шаг 7: Записываем окончательный ответ.

Ответ: x = -1.