Решение задачи 1:

Вычислим 85 * sin(arcctg 0 + arcsin(-8/17)).

1. Найдем arcctg 0. Поскольку ctg(x) = 0, это происходит при x = π/2. Таким образом, arcctg 0 = π/2.

2. Теперь найдем arcsin(-8/17). Для этого определим, что -8/17 находится в диапазоне -1 и 1, следовательно, arcsin(-8/17) определен.

3. Теперь мы можем сложить результаты:

• arcctg 0 + arcsin(-8/17) = π/2 + arcsin(-8/17).

4. Далее, sin(π/2 + x) = cos(x), поэтому:

• sin(π/2 + arcsin(-8/17)) = cos(arcsin(-8/17)).

5. Используя тригонометрическую идентичность, мы знаем, что cos(arcsin(y)) = sqrt(1 - y^2). В нашем случае y = -8/17:

• cos(arcsin(-8/17)) = sqrt(1 - (-8/17)^2) = sqrt(1 - 64/289) = sqrt(225/289) = 15/17.

6. Теперь подставим в исходное выражение:

• 85 * sin(arcctg 0 + arcsin(-8/17)) = 85 * (15/17) = 75.

Ответ: 75.

Решение задачи 2:

Вычислим корень из 5 * cos(0.5 * arctg(-4/3)).

1. Найдем arctg(-4/3). Это угол, тангенс которого равен -4/3. Угол находится в 2-й или 4-й четверти.

2. Теперь найдем cos(0.5 * arctg(-4/3)). Используем формулу для косинуса половинного угла:

• cos(0.5 * x) = sqrt((1 + cos(x)) / 2).

3. Для нахождения cos(arctg(-4/3)) воспользуемся тригонометрическими соотношениями:

• При a = -4 и b = 3, гипотенуза = sqrt((-4)^2 + 3^2) = 5.
• cos(arctg(-4/3)) = 3/5.

4. Подставляем в формулу:

• cos(0.5 * arctg(-4/3)) = sqrt((1 + 3/5) / 2) = sqrt(8/10) = sqrt(4/5).

5. Теперь подставим это значение в исходное выражение:

• корень из 5 * cos(0.5 * arctg(-4/3)) = корень из 5 * корень из (4/5) = корень из 20/5 = корень из 4 = 2.

Ответ: 2.

Решение задачи 3:

Вычислим 130 * sin(arccos(-4/5) + arcsin(5/13)).

1. Найдем arccos(-4/5). Это угол, косинус которого равен -4/5. Угол находится в 2-й четверти.

2. Теперь найдем arcsin(5/13). Угол, синус которого равен 5/13, находится в 1-й четверти.

3. Используем формулу для синуса суммы углов:

• sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B).

4. Для угла A = arccos(-4/5): sin(A) = sqrt(1 - (-4/5)^2) = 3/5 и cos(A) = -4/5.

5. Для угла B = arcsin(5/13): sin(B) = 5/13 и cos(B) = sqrt(1 - (5/13)^2) = 12/13.

6. Теперь подставим значения в формулу:

• sin(arccos(-4/5) + arcsin(5/13)) = (3/5 * 12/13) + (-4/5 * 5/13) = 36/65 - 20/65 = 16/65.

7. Подставим это значение в исходное выражение:

• 130 * sin(arccos(-4/5) + arcsin(5/13)) = 130 * (16/65) = 32.

Ответ: 32.

Решение задачи 4:

Вычислим tg(arctg 3 - arcctg(-0,5)).

1. Найдем arctg 3. Это угол, тангенс которого равен 3. Угол находится в 1-й или 3-й четверти.

2. Найдем arcctg(-0,5). Это угол, котрый соответствует ctg(x) = -0,5. Угол находится в 2-й или 4-й четверти.

3. Теперь используем формулу для разности тангенсов:

• tg(A - B) = (tg A - tg B) / (1 + tg A * tg B).

4. Для A = arctg 3: tg A = 3.

5. Для B = arcctg(-0,5): tg B = -2.

6. Подставляем значения:

• tg(arctg 3 - arcctg(-0,5)) = (3 - (-2)) / (1 + 3 * (-2)) = 5 / (1 - 6) = 5 / -5 = -1.

Ответ: -1.