Давайте решим каждую из задач по порядку.

1. Вычислим tg(π/2 - arctg 4).

Для начала вспомним, что tg(π/2 - x) = cotg(x). Таким образом, мы можем переписать наше выражение:

• tg(π/2 - arctg 4) = cotg(arctg 4).

Теперь, что такое cotg(arctg 4)? Это отношение косинуса к синусу:

• Если tg(x) = 4, это означает, что в прямоугольном треугольнике противолежащая сторона равна 4, а прилежащая сторона равна 1 (так как tg = противолежащая / прилежащая).
• По теореме Пифагора находим гипотенузу: гипотенуза = sqrt(4^2 + 1^2) = sqrt(16 + 1) = sqrt(17).
• Теперь находим cotg: cotg(x) = 1/tg(x) = 1/4.

Таким образом, tg(π/2 - arctg 4) = 1/4, что равно 0.25.

Ответ: 0.25.

2. Теперь вычислим 8 * cos(2 * arccos(3/4)).

Для начала используем формулу двойного угла для косинуса:

• cos(2x) = 2 * cos^2(x) - 1.

Подставим x = arccos(3/4):

• cos(2 * arccos(3/4)) = 2 * (3/4)^2 - 1 = 2 * (9/16) - 1 = 18/16 - 1 = 18/16 - 16/16 = 2/16 = 1/8.

Теперь умножаем на 8:

• 8 * cos(2 * arccos(3/4)) = 8 * (1/8) = 1.

Ответ: 1.

3. Наконец, вычислим 85 * sin(arcctg(0) + arcsin(8/17)).

Для начала разберемся с arcctg(0). Значение arcctg(0) соответствует углу, где tg(x) = 0. Это происходит при x = π/2.

Таким образом, мы имеем:

• sin(arcctg(0) + arcsin(8/17)) = sin(π/2 + arcsin(8/17)).

Используем формулу для синуса суммы углов:

• sin(a + b) = sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b).

Где a = π/2 и b = arcsin(8/17):

• sin(π/2) = 1, cos(π/2) = 0.
• sin(arcctg(0) + arcsin(8/17)) = 1 * cos(arcsin(8/17)) + 0 * sin(arcsin(8/17)) = cos(arcsin(8/17)).

Теперь найдем cos(arcsin(8/17):

• По теореме Пифагора, если sin(b) = 8/17, то cos(b) = sqrt(1 - (8/17)^2) = sqrt(1 - 64/289) = sqrt(225/289) = 15/17.

Теперь подставим это значение в наше выражение:

• 85 * sin(arcctg(0) + arcsin(8/17)) = 85 * (15/17) = 75.

Ответ: 75.

Итак, итоговые ответы:

• tg(π/2 - arctg 4) = 0.25
• 8 * cos(2 * arccos(3/4)) = 1
• 85 * sin(arcctg(0) + arcsin(8/17)) = 75