Давайте решим каждую из задач по порядку, используя формулы для арифметической прогрессии. Напомним, что n - это количество членов прогрессии, a₁ - первый член, d - разность, а S - сумма первых n членов.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

S = (n/2) * (2a₁ + (n - 1)d)

Теперь перейдем к каждому из случаев.

1. Первый случай: a₁ = 25, d = -2.

   Здесь нам не дана сумма S, поэтому мы не можем найти n. Если бы нам была известна сумма, мы могли бы подставить значения в формулу.

2. Второй случай: a₁ = 5, d = 2, S = 168.

   Подставим известные значения в формулу:

   168 = (n/2) * (2 * 5 + (n - 1) * 2).

   Упростим уравнение:

   168 = (n/2) * (10 + 2n - 2).

   168 = (n/2) * (2n + 8).

   Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

   336 = n * (2n + 8).

   Теперь раскроем скобки:

   336 = 2n² + 8n.

   Переносим все в одну сторону:

   2n² + 8n - 336 = 0.

   Упростим уравнение, разделив на 2:

   n² + 4n - 168 = 0.

   Теперь применим формулу корней квадратного уравнения:

   n = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 4, c = -168.

   n = (-4 ± √(4² - 4 * 1 * (-168))) / (2 * 1).

   n = (-4 ± √(16 + 672)) / 2.

   n = (-4 ± √688) / 2.

   √688 ≈ 26.23, тогда:

   n = (-4 + 26.23) / 2 ≈ 11.115 (положительное значение),

   или n = (-4 - 26.23) / 2 (отрицательное значение, не подходит).

   Таким образом, n ≈ 11.

3. Третий случай: a₁ = -12,5, d = 3, S = 195,5.

   Подставим значения в формулу:

   195,5 = (n/2) * (2 * (-12,5) + (n - 1) * 3).

   195,5 = (n/2) * (-25 + 3n - 3).

   195,5 = (n/2) * (3n - 28).

   Умножим обе стороны на 2:

   391 = n * (3n - 28).

   391 = 3n² - 28n.

   Переносим все в одну сторону:

   3n² - 28n - 391 = 0.

   Теперь применим формулу корней:

   a = 3, b = -28, c = -391.

   n = (28 ± √((-28)² - 4 * 3 * (-391))) / (2 * 3).

   n = (28 ± √(784 + 4692)) / 6.

   n = (28 ± √5476) / 6.

   √5476 = 74, тогда:

   n = (28 + 74) / 6 = 102 / 6 = 17.

   Таким образом, n = 17.

4. Четвертый случай: a₁ = -2,4, d = -0,8, S = -70,4.

   Подставим в формулу:

   -70,4 = (n/2) * (2 * (-2,4) + (n - 1) * (-0,8)).

   -70,4 = (n/2) * (-4,8 - 0,8n + 0,8).

   -70,4 = (n/2) * (-4 - 0,8n).

   Умножим обе стороны на 2:

   -140,8 = n * (-4 - 0,8n).

   140,8 = -4n - 0,8n².

   Переносим все в одну сторону:

   0,8n² + 4n + 140,8 = 0.

   Умножим на 10 для удобства:

   8n² + 40n + 1408 = 0.

   Теперь применим формулу корней:

   a = 8, b = 40, c = 1408.

   n = (-40 ± √(40² - 4 * 8 * 1408)) / (2 * 8).

   n = (-40 ± √(1600 - 45056)) / 16.

   n = (-40 ± √(-43456)) / 16.

   Так как дискриминант отрицательный, n не имеет действительных решений.

Итак, мы нашли значения n для двух случаев:

• Во втором случае n ≈ 11.
• В третьем случае n = 17.
• В первом и четвертом случаях n не может быть найдено.