Задания на комплексные числа

1. При каких значениях x и y из множества действительных чисел числа z₁=x-(y²/i)-4+5i и z₂=y²+1-3xi будут противоположными?
2. Как решить уравнение z³-6z-9=0?

Алгебра 11 класс Комплексные числа алгебра 11 класс комплексные числа задания по алгебре уравнения комплексных чисел решение уравнений противоположные числа задачи по алгебре алгебраические выражения Новый

Давайте разберем каждую из задач по порядку.

Задача 1: При каких значениях x и y числа z₁ и z₂ будут противоположными?

Комплексные числа z₁ и z₂ будут противоположными, если их сумма равна нулю. То есть:

1. Запишем z₁ и z₂:
• z₁ = x - (y²/i) - 4 + 5i
• z₂ = y² + 1 - 3xi
2. Теперь найдем сумму z₁ и z₂:
• z₁ + z₂ = (x - 4 + y² + 1) + (5i - 3xi) = (x + y² - 3) + (5 - 3x)i
3. Для того чтобы z₁ и z₂ были противоположными, нужно, чтобы:
• (x + y² - 3) = 0
• (5 - 3x) = 0
4. Теперь решим систему уравнений:
• Из второго уравнения: 5 - 3x = 0. Решаем его: 3x = 5, x = 5/3.
• Подставляем x в первое уравнение: (5/3) + y² - 3 = 0. Преобразуем: y² = 3 - 5/3 = 9/3 - 5/3 = 4/3.
• Таким образом, y = ±√(4/3) = ±(2/√3) = ±(2√3/3).

Таким образом, значения x и y, при которых z₁ и z₂ будут противоположными: x = 5/3 и y = ±(2√3/3).

Задача 2: Как решить уравнение z³ - 6z - 9 = 0?

Для решения кубического уравнения z³ - 6z - 9 = 0 мы можем использовать метод подбора корней или теорему Виета.

1. Сначала подберем рациональные корни. Попробуем z = 3:
• 3³ - 6*3 - 9 = 27 - 18 - 9 = 0.
2. Таким образом, z = 3 является корнем уравнения.
3. Теперь можем разложить многочлен на множители, используя корень z = 3:
• z³ - 6z - 9 = (z - 3)(Az² + Bz + C).
4. Найдем A, B и C, используя деление многочлена:
• После деления мы получим: z² + 3z + 3.
5. Теперь решим квадратное уравнение z² + 3z + 3 = 0:
• Используем дискриминант: D = B² - 4AC = 3² - 4*1*3 = 9 - 12 = -3.
6. Так как дискриминант отрицательный, у уравнения z² + 3z + 3 = 0 нет действительных корней, но есть комплексные:
• z = (-B ± √D) / 2A = (-3 ± √(-3)) / 2 = (-3 ± i√3) / 2.

Таким образом, все корни уравнения z³ - 6z - 9 = 0:

• z₁ = 3,
• z₂ = (-3 + i√3) / 2,
• z₃ = (-3 - i√3) / 2.