Давайте решим уравнение tgx = 1.

Для начала, вспомним, что тангенс угла равен 1 в тех случаях, когда угол равен π/4 плюс целое число π. То есть, общее решение уравнения можно записать как:

• x = π/4 + nπ, где n - любое целое число.

Теперь давайте найдем корни, которые находятся в пределах от -7π/2 до 2π.

Сначала определим границы для n:

• Наша задача — найти такие n, чтобы -7π/2 ≤ π/4 + nπ ≤ 2π.

Решим неравенство по отдельности:

1. Для левой границы:
• -7π/2 ≤ π/4 + nπ
• Переносим π/4 в левую часть: -7π/2 - π/4 ≤ nπ
• Приводим к общему знаменателю: -14π/4 - π/4 ≤ nπ
• Итак, -15π/4 ≤ nπ
• Делим обе стороны на π: -15/4 ≤ n
2. Для правой границы:
• π/4 + nπ ≤ 2π
• Переносим π/4 в правую часть: nπ ≤ 2π - π/4
• Приводим к общему знаменателю: nπ ≤ 8π/4 - π/4
• nπ ≤ 7π/4
• Делим обе стороны на π: n ≤ 7/4

Теперь мы имеем два неравенства для n:

• -15/4 ≤ n ≤ 7/4

Целые значения n в этом диапазоне: -3, -2, -1, 0, 1, 2.

Теперь подставим эти значения n в общее решение:

• Для n = -3: x = π/4 - 3π = -11π/4
• Для n = -2: x = π/4 - 2π = -7π/4
• Для n = -1: x = π/4 - π = -3π/4
• Для n = 0: x = π/4
• Для n = 1: x = π/4 + π = 5π/4
• Для n = 2: x = π/4 + 2π = 9π/4

Теперь проверим, какие из этих значений находятся в пределах от -7π/2 до 2π:

• -11π/4 (приблизительно -8.64) - в пределах
• -7π/4 (приблизительно -5.50) - в пределах
• -3π/4 (приблизительно -2.36) - в пределах
• π/4 (приблизительно 0.79) - в пределах
• 5π/4 (приблизительно 3.93) - в пределах
• 9π/4 (приблизительно 7.07) - не в пределах

Таким образом, корни уравнения tgx = 1 в пределах от -7π/2 до 2π:

• -11π/4
• -7π/4
• -3π/4
• π/4
• 5π/4