Чтобы решить задачу, давайте сначала разберемся, что означает выражение log_a x. Это логарифм x по основанию a, и он определяет, в какую степень нужно возвести a, чтобы получить x.

В условии сказано, что log_a 512 = 2/3. Это означает, что:

a^(2/3) = 512.

Теперь найдем значение a. Для этого возведем обе стороны уравнения в степень 3:

1. (a^(2/3))^3 = 512^3
2. a^2 = 512^3

Теперь найдем 512 в степени 3:

512 = 2^9, поэтому:

512^3 = (2^9)^3 = 2^(9*3) = 2^27.

Таким образом, мы имеем:

a^2 = 2^27.

Теперь извлечем квадратный корень из обеих сторон:

a = 2^(27/2) = 2^13.5.

Теперь мы знаем значение a. Теперь найдем log_a(√2).

Сначала выразим √2 через логарифм:

√2 = 2^(1/2).

Теперь можем записать:

log_a(√2) = log_a(2^(1/2)).

Используя свойства логарифмов, мы можем вынести 1/2:

log_a(√2) = (1/2) * log_a(2).

Теперь нам нужно найти log_a(2). Мы знаем, что:

log_a(512) = 2/3.

Также можем выразить 512 через 2:

512 = 2^9.

Поэтому:

log_a(512) = log_a(2^9) = 9 * log_a(2).

Теперь мы можем записать уравнение:

9 * log_a(2) = 2/3.

Решим это уравнение для log_a(2):

1. log_a(2) = (2/3) / 9 = 2/27.

Теперь подставим значение log_a(2) в выражение для log_a(√2):

log_a(√2) = (1/2) * (2/27) = 1/27.

Теперь, чтобы найти значение log_a(√2), нам нужно перевести его в десятичный вид:

log_a(√2) = 1/27.

Теперь мы можем использовать это значение, чтобы найти ответ на вопрос:

Поскольку у нас нет среди предложенных вариантов 1/27, вероятно, в условии задачи произошла ошибка. Но если бы мы искали значение log_a(x) при x = √2, то оно было бы 1/27.

Таким образом, ни один из предложенных вариантов ответа не является правильным. Если у вас есть другие данные или уточнения, пожалуйста, дайте знать!