Какую дробь можно получить, если к числителю обыкновенной дроби прибавить 5, а к знаменателю 2, и в результате дробь будет равна 4/5? Также, если сложить квадраты числителя и знаменателя исходной дроби, то получится 1145. Какая это дробь?

Алгебра 6 класс Системы уравнений алгебра 6 класс обыкновенная дробь числитель и знаменатель задачи на дроби уравнения с дробями квадраты числителя и знаменателя решение уравнения дробь равная 4/5 математические задачи поиск дроби Новый

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Обозначим исходную дробь как a/b, где a - числитель, а b - знаменатель.

Сначала запишем условия задачи:

1. Если к числителю прибавить 5, а к знаменателю 2, то дробь становится равной 4/5:

Это можно записать в виде уравнения:

(a + 5) / (b + 2) = 4/5

Теперь умножим обе стороны на (b + 2) и 5, чтобы избавиться от дробей:

5(a + 5) = 4(b + 2)

Раскроем скобки:

5a + 25 = 4b + 8

Теперь упростим это уравнение:

5a - 4b = -17 (уравнение 1)

Теперь перейдем ко второму условию:

1. Сложив квадраты числителя и знаменателя, мы получаем 1145:

Это можно записать как:

a^2 + b^2 = 1145 (уравнение 2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

• 5a - 4b = -17 (уравнение 1)
• a^2 + b^2 = 1145 (уравнение 2)

Решим первое уравнение относительно b:

4b = 5a + 17

b = (5a + 17)/4

Теперь подставим b из уравнения 1 в уравнение 2:

a^2 + ((5a + 17)/4)^2 = 1145

Раскроем скобки во втором уравнении:

a^2 + (25a^2 + 170a + 289)/16 = 1145

Умножим всё уравнение на 16, чтобы избавиться от дробей:

16a^2 + 25a^2 + 170a + 289 = 18320

Соберем все члены в одну сторону:

41a^2 + 170a + 289 - 18320 = 0

41a^2 + 170a - 18031 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 170^2 - 4 * 41 * (-18031)

D = 28900 + 2956724 = 2985624

Теперь найдем корни уравнения:

a = (-b ± √D) / (2a)

a = (-170 ± √2985624) / (2 * 41)

Вычислив дискриминант, мы находим:

√2985624 = 1728

Теперь подставим значение дискриминанта:

a = (-170 ± 1728) / 82

Решим два случая:

• 1. a = (1558) / 82 = 19
• 2. a = (-1898) / 82 (это отрицательное значение, его не рассматриваем)

Теперь подставим найденное значение a = 19 обратно в уравнение для b:

b = (5*19 + 17)/4 = (95 + 17)/4 = 112/4 = 28

Таким образом, исходная дробь:

19/28

Теперь проверим условия задачи:

1. Прибавим 5 к числителю и 2 к знаменателю:
• (19 + 5) / (28 + 2) = 24 / 30 = 4/5 (условие выполнено)
2. Сложим квадраты:
• 19^2 + 28^2 = 361 + 784 = 1145 (условие выполнено)

Ответ: искомая дробь - 19/28.