Давайте решим обе части задачи по порядку.

а) Сколько способов существует для выбора 4 ручек из коробки?

В коробке у нас есть 4 красные и 7 синих ручек, всего 11 ручек. Мы хотим выбрать 4 ручки из этих 11. Для нахождения количества способов выбора мы будем использовать формулу сочетаний.

Формула сочетаний выглядит так:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!),

где n - общее количество предметов, k - количество предметов, которые мы выбираем, а "!" обозначает факториал числа.

В нашем случае n = 11, k = 4. Подставим значения в формулу:

• 11! / (4! * (11 - 4)!) = 11! / (4! * 7!)

Теперь давайте посчитаем факториалы:

• 11! = 11 * 10 * 9 * 8 * 7!
• 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
• 7! = 7!

Подставляем в формулу:

• C(11, 4) = (11 * 10 * 9 * 8) / 4!
• C(11, 4) = (11 * 10 * 9 * 8) / 24

Теперь считаем числитель:

• 11 * 10 = 110
• 110 * 9 = 990
• 990 * 8 = 7920

Теперь делим на 24:

• 7920 / 24 = 330

Таким образом, количество способов выбрать 4 ручки из 11 составляет 330.

б) Сколько способов можно выбрать хотя бы 2 красные ручки из 4 ручек, которые находятся в коробке?

Для начала, давайте разберемся, что значит "хотя бы 2 красные ручки". Это значит, что мы можем выбрать:

• 2 красные и 2 синие
• 3 красные и 1 синюю
• 4 красные

Теперь посчитаем количество способов для каждого случая.

1. 2 красные и 2 синие:
• Выбираем 2 красные из 4: C(4, 2)
• Выбираем 2 синие из 7: C(7, 2)

Количество способов:

• C(4, 2) = 4! / (2! * 2!) = 6
• C(7, 2) = 7! / (2! * 5!) = 21

Итого: 6 * 21 = 126 способов.

2. 3 красные и 1 синяя:
• Выбираем 3 красные из 4: C(4, 3)
• Выбираем 1 синюю из 7: C(7, 1)

Количество способов:

• C(4, 3) = 4
• C(7, 1) = 7

Итого: 4 * 7 = 28 способов.

3. 4 красные:
• Выбираем 4 красные из 4: C(4, 4) = 1 способ.

Теперь суммируем все способы:

• 126 (2 красные и 2 синие) + 28 (3 красные и 1 синяя) + 1 (4 красные) = 155.

Таким образом, количество способов выбрать хотя бы 2 красные ручки из 4 составляет 155.