Поезд состоит из локомотива и 5 вагонов: І, ІІ, ІІІ, IV, V. Сколько существует способов расставить эти вагоны, если вагон І должен находиться ближе к локомотиву, чем вагон ІІ, а порядок остальных вагонов не имеет значения?

Алгебра 7 класс Комбинаторика алгебра 7 класс комбинаторика перестановки вагоны локомотив условия задачи количество способов математические задачи обучение школьная программа Новый

Чтобы найти количество способов расставить вагоны по указанным условиям, давайте разберёмся шаг за шагом.

У нас есть 5 вагонов: І, ІІ, ІІІ, IV, V, и локомотив. Важно, что вагон І должен находиться ближе к локомотиву, чем вагон ІІ. Это значит, что если вагон І находится на позиции, то вагон ІІ не может быть на той же позиции или на позиции, которая ближе к локомотиву.

Теперь давайте рассмотрим, на каких позициях может находиться вагон І и как это влияет на вагон ІІ:

• Если вагон І стоит на первой позиции: В этом случае вагон ІІ может занимать любые из оставшихся 4 позиций (ІІІ, IV, V). Это дает нам 4! = 24 способа расставить остальные вагоны.
• Если вагон І стоит на второй позиции: В этом случае вагон ІІ может занять только 3 позиции: третью, четвертую или пятую (поскольку он не может занимать первую позицию, которая ближе к локомотиву). Таким образом, у нас будет 3! = 6 способов расставить остальные вагоны, и всего мы имеем 3 * 3! = 18 способов.
• Если вагон І стоит на третьей позиции: В этом случае вагон ІІ может находиться только на четвертой или пятой позиции. Это дает нам 2! = 2 способа расставить остальные вагоны, и всего мы имеем 3 * 2! = 12 способов.
• Если вагон І стоит на четвертой позиции: В этом случае вагон ІІ может занять только пятую позицию. Это дает нам 1 способ расставить остальные вагоны, и всего мы имеем 3! = 6 способов.
• Если вагон І находится на пятой позиции: Это невозможно, так как вагон І должен быть ближе к локомотиву, чем вагон ІІ.

Теперь давайте сложим все полученные способы:

• 24 (вагон І на первой позиции) +
• 18 (вагон І на второй позиции) +
• 12 (вагон І на третьей позиции) +
• 6 (вагон І на четвертой позиции) =
• 60 способов.

Таким образом, общее количество способов расставить вагоны, соблюдая указанные условия, составляет 60 способов.