Как можно вычислить пятый член и сумму первых четырех членов геометрической прогрессии (Bn), если B1 = 27, а q = одна третья?

Алгебра 7 класс Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия пятый член сумма членов B1 = 27 q = одна третья вычисление прогрессии алгебра 7 класс Новый

Для решения задачи нам нужно воспользоваться формулами геометрической прогрессии. В геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением предыдущего члена на общее отношение (q).

Дано:

• B1 = 27 (первый член прогрессии)
• q = 1/3 (общее отношение)

Шаг 1: Найдем пятый член прогрессии (B5).

Формула для n-го члена геометрической прогрессии выглядит так:

Bn = B1 * q^(n-1)

Подставим значения, чтобы найти B5:

• B5 = B1 * q^(5-1)
• B5 = 27 * (1/3)^(4)

Теперь вычислим (1/3)^(4):

• (1/3)^(4) = 1/(3^4) = 1/81

Теперь подставим это значение в формулу для B5:

• B5 = 27 * (1/81)
• B5 = 27/81
• B5 = 1/3

Таким образом, пятый член прогрессии B5 равен 1/3.

Шаг 2: Найдем сумму первых четырех членов (S4).

Формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии выглядит так:

S_n = B1 * (1 - q^n) / (1 - q), если |q| < 1.

В нашем случае n = 4:

• S4 = B1 * (1 - q^4) / (1 - q)

Подставим известные значения:

• S4 = 27 * (1 - (1/3)^4) / (1 - 1/3)

Сначала найдем (1/3)^4, как мы уже делали:

• (1/3)^4 = 1/81

Теперь подставим это значение:

• S4 = 27 * (1 - 1/81) / (2/3)
• S4 = 27 * (80/81) / (2/3)

Теперь упростим выражение:

• S4 = 27 * (80/81) * (3/2)
• S4 = (27 * 80 * 3) / (81 * 2)

Теперь упростим:

• 27 = 81/3, поэтому S4 = (81/3 * 80 * 3) / (81 * 2)
• S4 = (80) / (2) = 40

Таким образом, сумма первых четырех членов S4 равна 40.

В итоге, мы нашли:

• Пятый член прогрессии B5 = 1/3
• Сумма первых четырех членов S4 = 40