Какова исходная дробь, если числитель на 2 меньше знаменателя, а при сложении этой дроби с обратной ей получается 130/63?

Алгебра 7 класс Рациональные дроби исходная дробь числитель меньше знаменателя сложение дробей обратная дробь задача по алгебре 7 класс дроби решение уравнения Новый

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Обозначим исходную дробь как x/y, где x - числитель, а y - знаменатель. Из условия задачи мы знаем, что:

• Числитель на 2 меньше знаменателя, то есть x = y - 2.
• При сложении этой дроби с обратной ей получается 130/63.

Запишем уравнение для сложения дробей:

Исходная дробь: x/y

Обратная дробь: y/x

Сложим их:

x/y + y/x = 130/63

Теперь найдем общий знаменатель для левой части уравнения, который равен xy. Тогда у нас получится:

(x^2 + y^2) / xy = 130/63

Перемножим обе стороны уравнения на xy:

x^2 + y^2 = (130/63) * xy

Теперь подставим вместо x выражение y - 2:

((y - 2)^2 + y^2) = (130/63) * (y - 2)y

Раскроем скобки:

(y^2 - 4y + 4 + y^2) = (130/63)(y^2 - 2y)

Упрощаем левую часть:

2y^2 - 4y + 4 = (130/63)(y^2 - 2y)

Теперь умножим обе стороны на 63, чтобы избавиться от дроби:

63(2y^2 - 4y + 4) = 130(y^2 - 2y)

Раскроем скобки:

126y^2 - 252y + 252 = 130y^2 - 260y

Переносим все члены в одну сторону:

126y^2 - 130y^2 + 260y - 252y + 252 = 0

Соберем подобные:

-4y^2 + 8y + 252 = 0

Умножим уравнение на -1 для удобства:

4y^2 - 8y - 252 = 0

Теперь можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 * 4 * (-252)

D = 64 + 4032 = 4096

Теперь находим корни уравнения:

y = (-b ± √D) / 2a = (8 ± √4096) / 8

Корень из 4096 равен 64, поэтому:

y = (8 ± 64) / 8

Находим два значения:

• y1 = (72) / 8 = 9
• y2 = (-56) / 8 = -7
(это значение не подходит, так как знаменатель не может быть отрицательным)

Таким образом, y = 9. Теперь подставим это значение обратно, чтобы найти x:

x = y - 2 = 9 - 2 = 7

Итак, исходная дробь:

7/9

Проверим: обратная дробь 9/7. Сложим их:

7/9 + 9/7 = (7*7 + 9*9) / (9*7) = (49 + 81) / 63 = 130 / 63, что соответствует условию.

Ответ: исходная дробь 7/9.