Давайте разберем каждую из задач по порядку.

1. Найдите НОД чисел:

Для нахождения НОД (наибольший общий делитель) воспользуемся методом разложения на простые множители или алгоритмом Евклида.

• а) 72 и 108:
  1. Разложим 72: 72 = 2^3 * 3^2
  2. Разложим 108: 108 = 2^2 * 3^3
  3. Теперь берем минимальные степени простых множителей: 2^2 и 3^2.
  4. Таким образом, НОД(72, 108) = 2^2 * 3^2 = 4 * 9 = 36.
• б) 168 и 180:
  1. Разложим 168: 168 = 2^3 * 3^1 * 7^1
  2. Разложим 180: 180 = 2^2 * 3^2 * 5^1
  3. Берем минимальные степени: 2^2 и 3^1.
  4. Таким образом, НОД(168, 180) = 2^2 * 3^1 = 4 * 3 = 12.
• в) 360 и 1050:
  1. Разложим 360: 360 = 2^3 * 3^2 * 5^1
  2. Разложим 1050: 1050 = 2^1 * 3^1 * 5^2 * 7^1
  3. Берем минимальные степени: 2^1, 3^1 и 5^1.
  4. Таким образом, НОД(360, 1050) = 2^1 * 3^1 * 5^1 = 2 * 3 * 5 = 30.
• г) 270, 450 и 555:
  1. Разложим 270: 270 = 2^1 * 3^3 * 5^1
  2. Разложим 450: 450 = 2^1 * 3^2 * 5^2
  3. Разложим 555: 555 = 3^1 * 5^1 * 37^1
  4. Берем минимальные степени: 3^1 и 5^1.
  5. Таким образом, НОД(270, 450, 555) = 3^1 * 5^1 = 3 * 5 = 15.

2. Найдите НОК чисел:

Для нахождения НОК (наименьшее общее кратное) воспользуемся формулой: НОК(a, b) = (a * b) / НОД(a, b).

• а) 15 и 18:
  1. Сначала найдем НОД(15, 18) = 3.
  2. Теперь НОК(15, 18) = (15 * 18) / 3 = 90.
• б) 36 и 48:
  1. Сначала найдем НОД(36, 48) = 12.
  2. Теперь НОК(36, 48) = (36 * 48) / 12 = 144.
• в) 252 и 360:
  1. Сначала найдем НОД(252, 360) = 36.
  2. Теперь НОК(252, 360) = (252 * 360) / 36 = 2520.
• г) 72, 120 и 264:
  1. Сначала найдем НОД(72, 120) = 24.
  2. Теперь найдем НОК(72, 120) = (72 * 120) / 24 = 360.
  3. Теперь найдем НОД(360, 264) = 72.
  4. Теперь НОК(360, 264) = (360 * 264) / 72 = 1320.

3. У Деда Мороза 525 мандаринов и 735 конфет:

Чтобы раздать одинаковые наборы наибольшему количеству детей, нужно найти НОД(525, 735).

• Разложим 525: 525 = 3^1 * 5^2 * 7^1.
• Разложим 735: 735 = 3^1 * 5^1 * 7^2.
• Берем минимальные степени: 3^1, 5^1 и 7^1.
• Таким образом, НОД(525, 735) = 3^1 * 5^1 * 7^1 = 3 * 5 * 7 = 105.

Теперь мы можем составить наборы, содержащие:

• Мандаринов: 525 / 105 = 5.
• Конфет: 735 / 105 = 7.

Таким образом, в каждом наборе будет 5 мандаринов и 7 конфет, и подарки получат 105 детей.

4. Длина шага Вани, Тани и их папы:

Сначала преобразуем длину шага папы в сантиметры: 1 м 05 см = 105 см.

Теперь найдем НОД длин шагов:

• Ваня: 75 см.
• Таня: 60 см.
• Папа: 105 см.

Разложим числа на простые множители:

• 75 = 3^1 * 5^2.
• 60 = 2^2 * 3^1 * 5^1.
• 105 = 3^1 * 5^1 * 7^1.

Теперь находим НОД:

• Общая степень: 3^1 и 5^1.
• Таким образом, НОД(75, 60, 105) = 3^1 * 5^1 = 15.

Наименьшее расстояние, которое они могли пройти, составляет 15 см.