Помогите, пожалуйста! Если сумма трёх целых чисел делится на 6, как можно доказать, что сумма кубов этих чисел также делится на 6?

Алгебра 7 класс Делимость чисел сумма трёх целых чисел делимость на 6 сумма кубов чисел доказательство делимости алгебра 7 класс свойства целых чисел Новый

Чтобы доказать, что сумма кубов трех целых чисел делится на 6, если их сумма делится на 6, давайте рассмотрим шаги решения этой задачи.

Шаг 1: Обозначим числа

Пусть у нас есть три целых числа: a, b и c. Мы знаем, что сумма этих чисел делится на 6:

a + b + c ≡ 0 (mod 6)

Шаг 2: Анализ кубов

Теперь мы хотим рассмотреть сумму их кубов:

a³ + b³ + c³

Шаг 3: Используем формулу для суммы кубов

Существует формула для суммы кубов, которая гласит:

a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - ac - bc)

Из этой формулы видно, что сумма кубов может быть представлена в виде произведения:

a³ + b³ + c³ = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - ac - bc) + 3abc

Шаг 4: Делимость на 6

Поскольку a + b + c делится на 6, то произведение (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - ac - bc) также будет делиться на 6.

Теперь рассмотрим второй член суммы, 3abc. Поскольку 3 является множителем, 3abc делится на 3.

Шаг 5: Проверка делимости на 2

Теперь нам нужно проверить, делится ли сумма a³ + b³ + c³ на 2. Для этого рассмотрим каждое из чисел a, b и c по модулю 2:

• Если все числа четные, то их кубы также четные, и сумма будет четной.
• Если одно из чисел нечетное, то сумма будет нечетной, но в таком случае одно из чисел также должно быть четным, чтобы сумма оставалась четной.
• Если два числа нечетные и одно четное, сумма кубов также будет четной.

Таким образом, независимо от выбора a, b и c, сумма их кубов будет четной.

Шаг 6: Заключение

Мы доказали, что сумма кубов трех целых чисел a³ + b³ + c³ делится на 6, так как она делится на 3 и на 2 одновременно.

Таким образом, если сумма трех целых чисел делится на 6, то сумма их кубов также делится на 6.