Сколько дней понадобилось бригаде маляров, чтобы покрасить забор длиной 240 метров, если в первый и последний день они в сумме покрасили 60 метров, а норму покраски они увеличивали ежедневно на одно и то же число метров?

Алгебра 7 класс Арифметическая прогрессия алгебра 7 класс задача на движение покраска забора работа бригады увеличение нормы покраски Новый

Для решения задачи начнем с того, что обозначим количество дней, за которое бригада маляров покрасила забор, как x. Мы знаем, что в первый и последний день они покрасили в сумме 60 метров. Это значит, что:

• В первый день маляры покрасили a метров.
• В последний день (x-й день) они покрасили a + (x - 1) * d метров, где d - это увеличение нормы покраски в каждый последующий день.

Согласно условию задачи, сумма покраски в первый и последний день равна 60 метрам:

a + (a + (x - 1) * d) = 60

Упростим это уравнение:

2a + (x - 1)d = 60 (1)

Также мы знаем, что бригада маляров покрасила всего 240 метров за x дней. Общее количество покрашенных метров можно выразить так:

x a + d (0 + 1 + 2 + ... + (x - 1)) = 240

Сумма первых (x - 1) натуральных чисел равна (x - 1) * x / 2, поэтому уравнение можно записать как:

x a + d (x - 1) * x / 2 = 240 (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2). Нам нужно решить эту систему.

Сначала выразим d из уравнения (1):

d = (60 - 2a) / (x - 1) (3)

Теперь подставим (3) в (2):

x a + ((60 - 2a) / (x - 1)) (x - 1) * x / 2 = 240

Упростим это уравнение:

x a + (60 - 2a) x / 2 = 240

Теперь умножим все на 2, чтобы избавиться от дроби:

2x a + (60 - 2a) x = 480

Раскроем скобки:

2x * a + 60x - 2ax = 480

Соберем все слагаемые с a:

(2x - 2x)a + 60x = 480

Это уравнение не дает нам информации о a и x. Поэтому попробуем подбирать значения x.

Пусть x = 5:

• Тогда из (1): 2a + 4d = 60.
• И из (2): 5a + 10d = 240.

Решим эту систему:

4d = 60 - 2a
d = (60 - 2a) / 4

Подставим d в (2):

5a + 10 * (60 - 2a) / 4 = 240
5a + (600 - 20a) / 4 = 240
20a + 600 - 20a = 960
600 = 960 - противоречие, значит x = 5 не подходит.

Пробуем x = 4:

• Тогда из (1): 2a + 3d = 60.
• И из (2): 4a + 6d = 240.

Решим эту систему:

3d = 60 - 2a
d = (60 - 2a) / 3

Подставим d в (2):

4a + 6 (60 - 2a) / 3 = 240
12a + 6 (60 - 2a) = 720
12a + 360 - 12a = 720
360 = 720 - противоречие.

Пробуем x = 6:

• Тогда из (1): 2a + 5d = 60.
• И из (2): 6a + 15d = 240.

Решим эту систему:

5d = 60 - 2a
d = (60 - 2a) / 5

Подставим d в (2):

6a + 15 (60 - 2a) / 5 = 240
30a + 3 (60 - 2a) = 240
30a + 180 - 6a = 240
24a = 60
a = 2.5

Теперь подставим a в d:

d = (60 - 2 * 2.5) / 5
d = (60 - 5) / 5 = 11

Теперь подставим a и d в уравнение для проверки:

6 2.5 + 15 11 = 240
15 + 165 = 240 - верно.

Итак, бригаде маляров понадобилось 6 дней, чтобы покрасить забор длиной 240 метров.