В круговой диаграмме круг разделен на 5 секторов. Сколько различных способов закрасить эти сектора, если у нас есть 10 разных красок?

Алгебра 7 класс Комбинаторика круговая диаграмма алгебра 7 класс задачи на комбинаторику раскраска секторов количество способов раскраски 10 красок комбинаторика в алгебре сектора диаграммы Новый

Чтобы решить задачу о том, сколько различных способов закрасить 5 секторов круговой диаграммы с 10 разными красками, нужно учитывать, что круговая диаграмма имеет симметрию. Это означает, что некоторые раскраски могут считаться одинаковыми, если они могут быть получены путем поворота диаграммы.

Для начала, давайте определим, сколько способов закрасить 5 секторов, если бы они были расположены в линейной последовательности (то есть, если бы не было симметрии). В этом случае, для каждого из 5 секторов мы можем выбрать любую из 10 красок. Таким образом, количество способов закрасить 5 секторов будет равно:

• 10 (для первого сектора)
• 10 (для второго сектора)
• 10 (для третьего сектора)
• 10 (для четвертого сектора)
• 10 (для пятого сектора)

Это можно записать как:

10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 10^5 = 100000.

Теперь, учитывая, что круговая диаграмма имеет симметрию, нам нужно учесть, что некоторые раскраски будут одинаковыми, если мы просто повернем круг. Для этого мы можем использовать формулу для учета симметрии, называемую формулой Бёрнсайда.

В нашем случае, круговая диаграмма может быть повернута на 0, 72, 144, 216 и 288 градусов, что соответствует 5 симметриям (поскольку 360 градусов делится на 5). Для каждой из этих симметрий мы должны определить, сколько раскрасок остаются неизменными.

1. При повороте на 0 градусов (оригинальное положение) все 100000 раскрасок остаются неизменными.

2. При повороте на 72, 144, 216 и 288 градусов, чтобы раскраска оставалась неизменной, все сектора должны быть одного цвета. Поскольку у нас 10 цветов, количество таких раскрасок будет равно 10 (по одному для каждого цвета).

Теперь, чтобы найти общее количество уникальных раскрасок, мы можем использовать формулу Бёрнсайда:

U = (1/n) * (С0 + С1 + С2 + С3 + С4),

где n — это количество симметрий (в нашем случае 5), а Сi — количество раскрасок, оставшихся неизменными при i-ом повороте.

Подставим значения:

• С0 = 100000 (при повороте на 0 градусов)
• С1 = 10 (при повороте на 72 градуса)
• С2 = 10 (при повороте на 144 градуса)
• С3 = 10 (при повороте на 216 градусов)
• С4 = 10 (при повороте на 288 градусов)

Теперь вычислим:

U = (1/5) * (100000 + 10 + 10 + 10 + 10) = (1/5) * (100040) = 20008.

Таким образом, количество различных способов закрасить 5 секторов круговой диаграммы с 10 разными красками, учитывая симметрию, равно 20008.