Чтобы определить, является ли число A = 1/81 частью геометрической прогрессии 3; 1; ..., нам нужно понять, как устроена эта прогрессия.

Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии (или отношением). В нашем случае, давайте найдем знаменатель прогрессии между первыми двумя членами:

• Первый член (a1) = 3
• Второй член (a2) = 1

Чтобы найти знаменатель, делим второй член на первый:

q = a2 / a1 = 1 / 3

Теперь мы можем записать формулу n-го члена геометрической прогрессии:

an = a1 * q^(n-1)

Подставим значения:

an = 3 * (1/3)^(n-1)

Теперь, чтобы найти, является ли A = 1/81 частью этой прогрессии, мы можем приравнять an к 1/81 и решить уравнение:

3 * (1/3)^(n-1) = 1/81

Упростим правую часть. Мы знаем, что 81 = 3^4, значит:

1/81 = 1/(3^4) = 3^(-4)

Теперь у нас есть уравнение:

3 * (1/3)^(n-1) = 3^(-4)

Перепишем 3 как 3^1:

3^1 * 3^(-(n-1)) = 3^(-4)

Теперь, используя свойства степеней, мы можем сложить показатели:

3^(1 - (n - 1)) = 3^(-4)

Это упрощается до:

3^(2 - n) = 3^(-4)

Так как основания равны, мы можем приравнять показатели:

2 - n = -4

Теперь решим это уравнение для n:

2 + 4 = n

n = 6

Таким образом, A = 1/81 является 6-м членом геометрической прогрессии 3; 1; ...

Ответ: Да, число A = 1/81 является частью геометрической прогрессии, и его порядковый номер - 6.