1. Как можно определить 25-ый член арифметической прогрессии, если первые два члена равны -3 и -6?

2. Как вычислить 10-ый член арифметической прогрессии, если первые два члена равны 3 и 7?

3. Какова формула для нахождения первого члена арифметической прогрессии, если сумма первых шести членов составляет 9, а разность между четвертым и вторым членами равна 0.4?

4. Как найти три числа, которые образуют арифметическую прогрессию, если их сумма равна 111, а второе число в 5 раз больше первого?

5. Какова разность арифметической прогрессии, если 21-ый член равен 15, а 1-ый член равен 5?

6. Какова сумма всех натуральных чисел от 2 до 102 включительно?

7. Как вычислить сумму 1/5 + 8/15 + 13/15 +....+33/15?

8. Как определить сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если первый член равен 2, а q равен 0.875?

9. Какова сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если её члены равны 9, -3 и 1?

Алгебра 8 класс Арифметическая и геометрическая прогрессии арифметическая прогрессия 25-ый член формула сумма членов разность прогрессии нахождение чисел бесконечно убывающая геометрическая прогрессия Новый

1. Как можно определить 25-ый член арифметической прогрессии, если первые два члена равны -3 и -6?

Чтобы найти 25-ый член арифметической прогрессии, сначала нужно определить разность прогрессии. Разность (d) вычисляется как разница между вторым и первым членом:

• d = -6 - (-3) = -6 + 3 = -3

Теперь, зная первый член (a1 = -3) и разность (d = -3), можно использовать формулу для n-го члена арифметической прогрессии:

a_n = a1 + (n - 1) * d

Подставим n = 25:

• a_25 = -3 + (25 - 1) * (-3)
• a_25 = -3 + 24 * (-3)
• a_25 = -3 - 72 = -75

Таким образом, 25-ый член арифметической прогрессии равен -75.

2. Как вычислить 10-ый член арифметической прогрессии, если первые два члена равны 3 и 7?

Сначала найдем разность прогрессии:

• d = 7 - 3 = 4

Теперь используем формулу для 10-ого члена:

• a_10 = a1 + (10 - 1) * d
• a_10 = 3 + 9 * 4
• a_10 = 3 + 36 = 39

Таким образом, 10-ый член арифметической прогрессии равен 39.

3. Какова формула для нахождения первого члена арифметической прогрессии, если сумма первых шести членов составляет 9, а разность между четвертым и вторым членами равна 0.4?

Сначала запишем формулы для суммы первых n членов и разности:

• Сумма первых шести членов: S6 = (6/2) * (2a1 + (6 - 1)d) = 9
• Разность между четвертым и вторым членами: a4 - a2 = 0.4

Сначала упростим S6:

• 3 * (2a1 + 5d) = 9
• 2a1 + 5d = 3

Теперь разность:

• a4 = a1 + 3d
• a2 = a1 + d
• (a1 + 3d) - (a1 + d) = 0.4
• 2d = 0.4
• d = 0.2

Теперь подставим d в уравнение для суммы:

• 2a1 + 5 * 0.2 = 3
• 2a1 + 1 = 3
• 2a1 = 2
• a1 = 1

Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен 1.

4. Как найти три числа, которые образуют арифметическую прогрессию, если их сумма равна 111, а второе число в 5 раз больше первого?

Обозначим первое число как x, тогда второе число будет 5x, а третье число можно выразить через первое и разность d:

• Третье число = 5x + d

Сумма чисел равна:

• x + 5x + (5x + d) = 111
• 11x + d = 111

Теперь, так как второе число в 5 раз больше первого, можно выразить d:

• d = 5x - x = 4x

Подставим d в уравнение суммы:

• 11x + 4x = 111
• 15x = 111
• x = 7.4

Теперь найдем остальные числа:

• Первое число: x = 7.4
• Второе число: 5x = 37
• Третье число: 37 + 4 * 7.4 = 37 + 29.6 = 66.6

Таким образом, три числа: 7.4, 37, 66.6.

5. Какова разность арифметической прогрессии, если 21-ый член равен 15, а 1-ый член равен 5?

Используем формулу для n-го члена:

• a_n = a1 + (n - 1) * d

Подставим известные значения для 21-ого члена:

• 15 = 5 + (21 - 1) * d
• 15 = 5 + 20d
• 10 = 20d
• d = 0.5

Таким образом, разность арифметической прогрессии равна 0.5.

6. Какова сумма всех натуральных чисел от 2 до 102 включительно?

Сначала найдем количество членов в этом диапазоне:

• n = 102 - 2 + 1 = 101

Теперь используем формулу для суммы арифметической прогрессии:

• S_n = (n/2) * (a1 + an)
• S_101 = (101/2) * (2 + 102)
• S_101 = (101/2) * 104
• S_101 = 101 * 52 = 5252

Таким образом, сумма всех натуральных чисел от 2 до 102 равна 5252.

7. Как вычислить сумму 1/5 + 8/15 + 13/15 +....+33/15?

Сначала заметим, что дроби имеют общий знаменатель 15, поэтому можем привести к общему знаменателю:

• 1/5 = 3/15

Теперь у нас есть последовательность чисел:

• 3/15, 8/15, 13/15, ..., 33/15

Эти числители образуют арифметическую прогрессию с первым членом 3 и разностью 5:

• Сумма чисел: S_n = (n/2) * (a1 + an)

Найдём количество членов:

• an = 33; a1 = 3; d = 5
• n = (an - a1) / d + 1 = (33 - 3) / 5 + 1 = 7

Теперь вычислим сумму:

• S_7 = (7/2) * (3 + 33) = (7/2) * 36 = 7 * 18 = 126

Таким образом, сумма 1/5 + 8/15 + 13/15 + .... + 33/15 равна 126/15.

8. Как определить сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если первый член равен 2, а q равен 0.875?

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

• S = a1 / (1 - q)

Подставим известные значения:

• S = 2 / (1 - 0.875) = 2 / 0.125 = 16

Таким образом, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 16.

9. Какова сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если её члены равны 9, -3 и 1?

Сначала найдем первый член и знаменатель прогрессии:

• Первый член (a1) = 9
• Второй член (a2) = -3
• Знаменатель q = a2 / a1 = -3 / 9 = -1/3

Теперь можем использовать формулу для суммы:

• S = a1 / (1 - q) = 9 / (1 - (-1/3)) = 9 / (1 + 1/3) = 9 / (4/3) = 9 * (3/4) = 6.75

Таким образом, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 6.75.

1 2 3 4 5