Три числа расположены в возрастающей арифметической прогрессии, и их квадраты формируют геометрическую прогрессию. Каковы эти числа, если их сумма составляет 36?

Алгебра 8 класс Арифметическая и геометрическая прогрессии алгебра 8 класс арифметическая прогрессия Геометрическая прогрессия сумма чисел решение уравнения квадрат чисел возрастающая последовательность Новый

Давайте обозначим три числа, которые находятся в возрастающей арифметической прогрессии, как:

• a - первое число,
• a + d - второе число,
• a + 2d - третье число,

где d - это разность прогрессии.

Согласно условию, их сумма равна 36:

a + (a + d) + (a + 2d) = 36.

Упрощаем это уравнение:

• 3a + 3d = 36,
• 3(a + d) = 36.

Теперь делим обе стороны на 3:

a + d = 12.

Теперь мы знаем, что сумма первого числа и разности равна 12. Следовательно, d = 12 - a.

Теперь рассмотрим квадраты этих чисел. Они должны образовывать геометрическую прогрессию:

• (a)^2,
• (a + d)^2,
• (a + 2d)^2.

Поскольку числа образуют геометрическую прогрессию, выполняется следующее условие:

(a + d)^2 = (a) * (a + 2d).

Подставим d = 12 - a в это уравнение:

• (a + (12 - a))^2 = a * (a + 2(12 - a)),
• (12)^2 = a * (a + 24 - 2a),
• 144 = a * (24 - a).

Раскроем скобки:

144 = 24a - a^2.

Переносим все в одну сторону уравнения:

a^2 - 24a + 144 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 * 1 * 144 = 576 - 576 = 0.

Так как дискриминант равен 0, у уравнения есть один корень:

a = -b / 2a = 24 / 2 = 12.

Теперь находим d:

d = 12 - a = 12 - 12 = 0.

Таким образом, все три числа равны:

• a = 12,
• a + d = 12,
• a + 2d = 12.

Итак, три числа, которые расположены в возрастающей арифметической прогрессии и квадраты которых образуют геометрическую прогрессию, равны 12, 12 и 12. Их сумма составляет 36, что соответствует условию задачи.