В арифметической прогрессии, состоящей из 9 членов, первый член равен 1, а сумма всех членов составляет 369. Геометрическая прогрессия также включает 9 членов, причем первый и последний члены совпадают с соответствующими членами данной арифметической прогрессии. Каков пятый член геометрической прогрессии?

Алгебра 8 класс Арифметическая и геометрическая прогрессии алгебра 8 класс арифметическая прогрессия Геометрическая прогрессия сумма членов прогрессии пятый член прогрессии Новый

Чтобы решить эту задачу, начнем с анализа арифметической прогрессии (АП).

Шаг 1: Определим параметры арифметической прогрессии.

В АП первый член равен 1, обозначим его как a1 = 1. Обозначим разность прогрессии как d. Тогда члены АП можно записать так:

• a1 = 1
• a2 = 1 + d
• a3 = 1 + 2d
• a4 = 1 + 3d
• a5 = 1 + 4d
• a6 = 1 + 5d
• a7 = 1 + 6d
• a8 = 1 + 7d
• a9 = 1 + 8d

Сумма первых n членов АП вычисляется по формуле:

S = n/2 * (a1 + an),

где an - n-ый член прогрессии. В нашем случае n = 9, a1 = 1, а an = 1 + 8d.

Сумма всех членов равна 369:

369 = 9/2 * (1 + (1 + 8d)).

Шаг 2: Упростим уравнение.

Перепишем уравнение:

369 = 9/2 * (2 + 8d).

Умножим обе стороны на 2:

738 = 9 * (2 + 8d).

Разделим обе стороны на 9:

82 = 2 + 8d.

Теперь вычтем 2 из обеих сторон:

80 = 8d.

И разделим на 8:

d = 10.

Шаг 3: Найдем все члены АП.

Теперь, зная d, можем найти все члены АП:

• a1 = 1
• a2 = 11
• a3 = 21
• a4 = 31
• a5 = 41
• a6 = 51
• a7 = 61
• a8 = 71
• a9 = 81

Шаг 4: Переход к геометрической прогрессии (ГП).

Теперь у нас есть ГП с первым членом (a1) равным 1 и последним членом (a9) равным 81. Обозначим первый член ГП как b1 = 1 и последний член как b9 = 81. Обозначим общий множитель ГП как q.

Члены ГП можно записать так:

• b1 = 1
• b2 = q
• b3 = q^2
• b4 = q^3
• b5 = q^4
• b6 = q^5
• b7 = q^6
• b8 = q^7
• b9 = q^8 = 81

Так как b9 = b1 * q^8, то:

81 = 1 * q^8.

Следовательно, q^8 = 81.

Шаг 5: Найдем q.

81 можно представить как 3^4. Таким образом, у нас есть:

q^8 = 3^4.

Теперь возьмем восьмую корень:

q = 3^(4/8) = 3^(1/2) = √3.

Шаг 6: Найдем пятый член ГП.

Теперь мы можем найти пятый член ГП:

b5 = q^4 = (√3)^4 = 3^2 = 9.

Ответ: Пятый член геометрической прогрессии равен 9.