1) Какое количество различных слов можно составить из 11 уникальных букв, используя буквы слова "треугольник"?

 

2) Сколько трехзначных чисел можно создать из цифр 1, 2, 3, 4, 6, 7, если допускается повторение цифр?

 

3) Какое количество различных прямоугольных параллелепипедов можно построить с размерами 1 см, 2 см, 3 см и 4 см?

 

4) Имея 3 белых, 4 серых и 5 черных бусинок, сколько различных ожерелий можно создать, используя все 12 бусин?

 

Алгебра 8 класс Комбинаторика алгебра 8 класс количество слов из букв трёхзначные числа повторение цифр прямоугольные параллелепипеды количество ожерелий из бусинок Новый

Давайте разберем каждый из ваших вопросов по порядку.

1) Какое количество различных слов можно составить из 11 уникальных букв, используя буквы слова "треугольник"?

Слово "треугольник" состоит из 11 уникальных букв. Чтобы найти количество различных слов, которые можно составить из этих букв, мы используем формулу для перестановок:

• Количество перестановок n уникальных объектов равно n!. В нашем случае n = 11.

Таким образом, количество различных слов будет равно 11! (факториал 11).

Вычисляем:

• 11! = 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 39,916,800.

Ответ: 39,916,800 различных слов.

2) Сколько трехзначных чисел можно создать из цифр 1, 2, 3, 4, 6, 7, если допускается повторение цифр?

Для создания трехзначного числа у нас есть три позиции: сотни, десятки и единицы. Поскольку цифры могут повторяться, для каждой позиции мы можем использовать любую из 6 доступных цифр (1, 2, 3, 4, 6, 7).

• Количество вариантов для сотен: 6.
• Количество вариантов для десятков: 6.
• Количество вариантов для единиц: 6.

Теперь умножаем количество вариантов для каждой позиции:

• Общее количество трехзначных чисел = 6 × 6 × 6 = 216.

Ответ: 216 трехзначных чисел.

3) Какое количество различных прямоугольных параллелепипедов можно построить с размерами 1 см, 2 см, 3 см и 4 см?

Прямоугольный параллелепипед определяется тремя размерами, и порядок этих размеров имеет значение. Мы можем выбрать 3 размера из 4 доступных (1 см, 2 см, 3 см, 4 см) и затем переставить их.

• Сначала находим количество способов выбрать 3 размера из 4: C(4, 3) = 4.
• Затем, для каждого выбора, мы можем переставить 3 размера, что равно 3! = 6.

Теперь умножаем количество способов выбора на количество перестановок:

• Общее количество параллелепипедов = 4 × 6 = 24.

Ответ: 24 различных прямоугольных параллелепипеда.

4) Имея 3 белых, 4 серых и 5 черных бусинок, сколько различных ожерелий можно создать, используя все 12 бусин?

При создании ожерелий важно учитывать, что они могут быть повернуты и перевернуты. Для подсчета количества различных ожерелий, мы используем формулу для нахождения числа перестановок с повторениями:

• Общее количество бусинок = 12 (3 белых, 4 серых и 5 черных).
• Формула: N! / (n1! × n2! × n3!), где N - общее количество объектов, n1, n2 и n3 - количество повторяющихся объектов.

В нашем случае:

• N = 12, n1 = 3 (белые), n2 = 4 (серые), n3 = 5 (черные).

Подставляем значения:

• 12! / (3! × 4! × 5!).

Теперь вычисляем:

• 12! = 479,001,600,
• 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120.
• 3! × 4! × 5! = 6 × 24 × 120 = 17,280.
• Теперь делим: 479,001,600 / 17,280 = 27,720.

Однако, поскольку ожерелья можно переворачивать, мы делим результат на 2:

• 27,720 / 2 = 13,860.

Ответ: 13,860 различных ожерелий.