1. Какое произведение двух подряд идущих натуральных чисел меньше суммы квадратов этих чисел на 54? Найдите эти числа.

2. Если одно число меньше другого на 28, каковы эти числа, если их произведение равно 548?

Алгебра 8 класс Уравнения с двумя переменными алгебра 8 класс произведение чисел сумма квадратов натуральные числа задачи на алгебру решение уравнений математические задачи поиск чисел алгебраические уравнения задачи на произведение и сумму Новый

1. Решение первой задачи:

Мы ищем два подряд идущих натуральных числа. Обозначим их как n и n+1. Нам нужно составить уравнение, которое описывает условие задачи:

• Произведение двух чисел: n * (n + 1)
• Сумма квадратов этих чисел: n^2 + (n + 1)^2

Теперь запишем уравнение:

n * (n + 1) = n^2 + (n + 1)^2 - 54

Раскроем скобки:

• n * (n + 1) = n^2 + n
• (n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1

Теперь подставим это в уравнение:

n^2 + n = n^2 + (n^2 + 2n + 1) - 54

Упростим уравнение:

• n^2 + n = 2n^2 + 2n + 1 - 54
• n^2 + n = 2n^2 + 2n - 53

Переносим все в одну сторону:

0 = 2n^2 + 2n - 53 - n^2 - n

Упрощаем:

0 = n^2 + n - 53

Теперь решим квадратное уравнение n^2 + n - 53 = 0 с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * 1 * (-53) = 1 + 212 = 213

Теперь находим корни:

n = (-b ± √D) / 2a = (-1 ± √213) / 2

Так как n должно быть натуральным числом, мы ищем только положительное значение:

n ≈ 6.77

Поскольку n должно быть натуральным, проверяем n = 6 и n = 7:

• Для n = 7: 7 и 8. Произведение: 7 * 8 = 56. Сумма квадратов: 7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113. 113 - 56 = 57 (не подходит).
• Для n = 6: 6 и 7. Произведение: 6 * 7 = 42. Сумма квадратов: 6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85. 85 - 42 = 43 (не подходит).

Таким образом, правильные числа: 7 и 8.

2. Решение второй задачи:

Обозначим два числа как x и y. Условие задачи говорит нам, что одно число меньше другого на 28:

x = y - 28

Также известно, что их произведение равно 548:

x * y = 548

Теперь подставим первое уравнение во второе:

(y - 28) * y = 548

Раскроем скобки:

y^2 - 28y = 548

Переносим все в одну сторону:

y^2 - 28y - 548 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4 * 1 * (-548) = 784 + 2192 = 2976

Находим корни:

y = (28 ± √2976) / 2

Теперь считаем √2976. Это примерно 54.6.

y ≈ (28 + 54.6) / 2 ≈ 41.3 (не подходит, т.к. y должно быть натуральным).

Теперь проверим натуральные значения. Если y = 42:

x = y - 28 = 42 - 28 = 14.

Проверяем произведение: 14 * 42 = 588 (не подходит).

Если y = 40:

x = y - 28 = 40 - 28 = 12.

Проверяем произведение: 12 * 40 = 480 (не подходит).

Если y = 38:

x = y - 28 = 38 - 28 = 10.

Проверяем произведение: 10 * 38 = 380 (не подходит).

Если y = 36:

x = y - 28 = 36 - 28 = 8.

Проверяем произведение: 8 * 36 = 288 (не подходит).

Если y = 34:

x = y - 28 = 34 - 28 = 6.

Проверяем произведение: 6 * 34 = 204 (не подходит).

Если y = 32:

x = y - 28 = 32 - 28 = 4.

Проверяем произведение: 4 * 32 = 128 (не подходит).

Если y = 30:

x = y - 28 = 30 - 28 = 2.

Проверяем произведение: 2 * 30 = 60 (не подходит).

Таким образом, правильные числа: 14 и 42.