Каковы все пары натуральных чисел, которые удовлетворяют уравнению x2 - y2 = 69?

Алгебра 8 класс Уравнения с двумя переменными алгебра 8 класс пары натуральных чисел уравнение x2 - y2 = 69 решения натуральные числа математические задачи дифференциация разность квадратов Новый

Для того чтобы найти все пары натуральных чисел (x, y), которые удовлетворяют уравнению x² - y² = 69, мы можем воспользоваться разностью квадратов. Уравнение можно записать в виде:

(x - y)(x + y) = 69

Теперь нам нужно найти все пары множителей числа 69. Для этого сначала разложим 69 на простые множители:

69 = 3 * 23

Теперь определим все возможные пары множителей, которые могут быть равны (x - y) и (x + y). Пары множителей числа 69 следующие:

• (1, 69)
• (3, 23)
• (23, 3)
• (69, 1)

Теперь мы можем рассмотреть каждую из этих пар и найти соответствующие значения x и y.

1. Для пары (1, 69):
• x - y = 1
• x + y = 69

Сложим оба уравнения:

• 2x = 70 → x = 35
• Подставим x в первое уравнение: 35 - y = 1 → y = 34

Получаем пару (35, 34).

2. Для пары (3, 23):
• x - y = 3
• x + y = 23

Сложим оба уравнения:

• 2x = 26 → x = 13
• Подставим x в первое уравнение: 13 - y = 3 → y = 10

Получаем пару (13, 10).

3. Для пары (23, 3):
• x - y = 23
• x + y = 3

Сложим оба уравнения:

• 2x = 26 → x = 13
• Подставим x в первое уравнение: 13 - y = 23 → y = -10 (не натуральное число)

Эта пара не дает натуральных чисел.

4. Для пары (69, 1):
• x - y = 69
• x + y = 1

Сложим оба уравнения:

• 2x = 70 → x = 35
• Подставим x в первое уравнение: 35 - y = 69 → y = -34 (не натуральное число)

Эта пара тоже не дает натуральных чисел.

Таким образом, единственными парами натуральных чисел (x, y), которые удовлетворяют уравнению x² - y² = 69, являются:

• (35, 34)
• (13, 10)