Докажите, что для любого целого n значение выражения (n+3)(n+7) - n(n-4) делится на 7 без остатка.

Алгебра 8 класс Делимость выражений алгебра 8 класс делимость на 7 доказательство целые числа выражение математическое доказательство Новый

Для доказательства того, что выражение (n+3)(n+7) - n(n-4) делится на 7 для любого целого n, начнем с упрощения данного выражения.

1. Рассмотрим выражение (n+3)(n+7):
   • Раскроем скобки:
   • (n+3)(n+7) = n^2 + 7n + 3n + 21 = n^2 + 10n + 21.
2. Теперь рассмотрим выражение n(n-4):
   • Раскроем скобки:
   • n(n-4) = n^2 - 4n.
3. Теперь подставим оба выражения в исходное выражение:
   • (n+3)(n+7) - n(n-4) = (n^2 + 10n + 21) - (n^2 - 4n).
4. Упростим полученное выражение:
   • n^2 + 10n + 21 - n^2 + 4n = 10n + 4n + 21 = 14n + 21.

Теперь у нас есть выражение 14n + 21. Мы можем выделить общий множитель:

• 14n + 21 = 7(2n + 3).

Так как 7 является множителем данного выражения, мы можем заключить, что 14n + 21 делится на 7 для любого целого n.

Таким образом, мы доказали, что (n+3)(n+7) - n(n-4) делится на 7 без остатка для любого целого n.