Срочно! Пожалуйста! Верно ли, что для любого натурального n выражение (5n+1)^2 - 3(n-1)^2 делится на 11?

Алгебра 8 класс Делимость выражений алгебра 8 класс делимость на 11 натуральные числа выражение квадрат математическая задача проверка делимости Новый

Чтобы проверить, делится ли выражение (5n+1)^2 - 3(n-1)^2 на 11 для любого натурального n, начнем с упрощения этого выражения.

1. Раскроим скобки:

1. (5n + 1)^2 = 25n^2 + 10n + 1
2. (n - 1)^2 = n^2 - 2n + 1, тогда 3(n - 1)^2 = 3(n^2 - 2n + 1) = 3n^2 - 6n + 3

2. Теперь подставим эти выражения в исходное:

(5n + 1)^2 - 3(n - 1)^2 = (25n^2 + 10n + 1) - (3n^2 - 6n + 3)

3. Упростим полученное выражение:

1. 25n^2 - 3n^2 = 22n^2
2. 10n + 6n = 16n
3. 1 - 3 = -2

Таким образом, мы получаем:

22n^2 + 16n - 2

4. Теперь проверим, делится ли это выражение на 11. Для этого будем рассматривать его по модулю 11:

22n^2 + 16n - 2 (по модулю 11) можно упростить:

1. 22n^2 ≡ 0 (по модулю 11, так как 22 делится на 11)
2. 16n ≡ 5n (по модулю 11, так как 16 - 11 = 5)
3. -2 остается -2.

Таким образом, выражение по модулю 11 будет выглядеть так:

5n - 2

5n - 2 должно делиться на 11 для любого натурального n. Теперь проверим это для нескольких значений n:

• n = 1: 5*1 - 2 = 3 (не делится на 11)
• n = 2: 5*2 - 2 = 8 (не делится на 11)
• n = 3: 5*3 - 2 = 13 (делится на 11, 13 mod 11 = 2)
• n = 4: 5*4 - 2 = 18 (не делится на 11)

Как видно, выражение 5n - 2 не делится на 11 для всех натуральных n. Следовательно, исходное выражение (5n + 1)^2 - 3(n - 1)^2 не делится на 11 для любого натурального n.

Вывод: Нет, выражение (5n + 1)^2 - 3(n - 1)^2 не делится на 11 для любого натурального n.