Давайте разберем данное выражение и докажем, что для любого натурального n значение выражения (2n + 5)^2 - 9 делится на 8.

Начнем с того, что у нас есть выражение:

(2n + 5)^2 - 9

Для удобства, сначала раскроем скобки:

1. Раскроем квадрат:
2. (2n + 5)(2n + 5) = 4n^2 + 20n + 25
3. Теперь подставим это в наше выражение:
4. 4n^2 + 20n + 25 - 9 = 4n^2 + 20n + 16

Теперь у нас есть выражение:

4n^2 + 20n + 16

Теперь мы можем выделить общий множитель:

4(n^2 + 5n + 4)

Теперь мы видим, что выражение 4(n^2 + 5n + 4) умножается на 4. Чтобы доказать, что оно делится на 8, нам нужно показать, что (n^2 + 5n + 4) делится на 2.

Теперь рассмотрим выражение n^2 + 5n + 4. Мы можем проверить, как оно ведет себя при различных значениях n:

• Если n четное (например, n = 2):
• n^2 + 5n + 4 = 2^2 + 5*2 + 4 = 4 + 10 + 4 = 18 (четное)
• Если n нечетное (например, n = 1):
• n^2 + 5n + 4 = 1^2 + 5*1 + 4 = 1 + 5 + 4 = 10 (четное)

Таким образом, вне зависимости от того, четное n или нечетное, выражение n^2 + 5n + 4 всегда будет четным. Это значит, что оно делится на 2.

Следовательно, 4(n^2 + 5n + 4) делится на 8, так как 4 умножается на четное число.

Таким образом, мы доказали, что для любого натурального n значение выражения (2n + 5)^2 - 9 делится на 8.